Producto libre de álgebras asociativas

En álgebra , el producto libre ( coproducto ) de una familia de álgebras asociativas sobre un anillo conmutativo R es el álgebra asociativa sobre R que, aproximadamente, está definida por los generadores y las relaciones de los . El producto libre de dos álgebras A , B se denota por A  ∗  B . La noción es un análogo en la teoría de anillos de un producto libre de grupos . ${\displaystyle A_{i},i\in I}$ ${\displaystyle A_{i}}$

En la categoría de R -álgebras conmutativas , el producto libre de dos álgebras (en esa categoría ) es su producto tensorial .

Construcción

Primero definimos un producto libre de dos álgebras. Sean A y B álgebras sobre un anillo conmutativo R . Considérese su álgebra tensorial , la suma directa de todos los productos tensoriales finitos posibles de A , B ; explícitamente, donde ${\displaystyle T=\bigoplus _{n=0}^{\infty }T_{n}}$

${\displaystyle T_{0}=R,\,T_{1}=A\oplus B,\,T_{2}=(A\otimes A)\oplus (A\otimes B)\oplus (B\otimes A)\oplus (B\otimes B),\,T_{3}=\cdots ,\dots }$

Luego nos pusimos

${\displaystyle A*B=T/I}$

donde I es el ideal bilateral generado por elementos de la forma

${\displaystyle a\otimes a'-aa',\,b\otimes b'-bb',\,1_{A}-1_{B}.}$

Luego verificamos que la propiedad universal del coproducto se cumple para este caso (esto es sencillo).

Un producto libre finito se define de manera similar.

Referencias

• KI Beidar, WS Martindale y AV Mikhalev, Rings with generalized identities, Sección 1.4. Esta referencia fue mencionada en "Coproducto en la categoría de álgebras asociativas (no conmutativas)". Stack Exchange . 9 de mayo de 2012.

Enlaces externos

• "Cómo construir el coproducto de dos anillos (no conmutativos)". Stack Exchange . 3 de enero de 2014.