En la teoría de grupos , una rama de las matemáticas , el proceso de recolección de conmutadores es un método para escribir un elemento de un grupo como un producto de generadores y sus conmutadores superiores dispuestos en un orden determinado. El proceso de recolección de conmutadores fue introducido por Philip Hall en 1934 [1] y articulado por Wilhelm Magnus en 1937. [2] El proceso a veces se denomina "proceso de recolección".
El proceso se puede generalizar para definir un subconjunto totalmente ordenado de un álgebra libre no asociativa, es decir, un magma libre ; este subconjunto se denomina conjunto de Hall . Los miembros del conjunto de Hall son árboles binarios ; estos se pueden colocar en correspondencia uno a uno con palabras, a las que se denomina palabras de Hall ; las palabras de Lyndon son un caso especial. Los conjuntos de Hall se utilizan para construir una base para un álgebra de Lie libre , de forma completamente análoga al proceso de recolección de conmutadores. Las palabras de Hall también proporcionan una factorización única de monoides .
El proceso de recolección de conmutadores generalmente se enuncia para grupos libres , ya que un teorema similar se cumple para cualquier grupo al escribirlo como un cociente de un grupo libre.
Supóngase que F 1 es un grupo libre de generadores a 1 , ..., a m . Defina la serie central descendente poniendo
Los conmutadores básicos son elementos de F 1 definidos y ordenados de la siguiente manera:
Los conmutadores se ordenan de modo que x > y si x tiene un peso mayor que el de y , y para conmutadores de cualquier peso fijo se elige algún orden total.
Entonces F n / F n +1 es un grupo abeliano libre generado finitamente con una base que consiste en conmutadores básicos de peso n .
Entonces cualquier elemento de F puede escribirse como
donde c i son los conmutadores básicos de peso como máximo m dispuestos en orden, y c es un producto de conmutadores de peso mayor que m , y los n i son números enteros .
