El problema esférico de Bernstein es una posible generalización del problema de Bernstein original en el campo de la geometría diferencial global , propuesto por primera vez por Shiing-Shen Chern en 1969, y luego en 1970, durante su discurso plenario en el Congreso Internacional de Matemáticos en Niza .
¿Están los ecuadores en las únicas hipersuperficies mínimas incrustadas y suaves que son esferas topológicas-dimensionales?
Además, el problema esférico de Bernstein , si bien es en sí mismo una generalización del problema de Bernstein original, también puede generalizarse aún más reemplazando el espacio ambiental por un espacio simétrico compacto y simplemente conectado. Algunos resultados en esta dirección se deben al trabajo de Wu-Chung Hsiang y Wu-Yi Hsiang.
A continuación se muestran dos formas alternativas de expresar el problema:
Sea la esfera ( n − 1 ) incrustada como una hipersuperficie mínima en (1). ¿Es necesariamente un ecuador?
Según el teorema de Almgren - Calabi , es cierto cuando n = 3 (o n = 2 para la primera formulación).
Wu-Chung Hsiang lo demostró para n ∈ {4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 14} (o n ∈ {3, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 13}, respectivamente)
En 1987, Per Tomter lo demostró para todo n par (o todo n impar , respectivamente).
Por lo tanto, solo permanece desconocido para todos los impares n ≥ 9 (o todos los pares n ≥ 8, respectivamente)
¿Es cierto que una hiperesfera mínima incrustada dentro de la esfera euclidiana es necesariamente un ecuador?
Geométricamente, el problema es análogo al siguiente problema:
¿Es la topología local en un punto singular aislado de una hipersuperficie mínima necesariamente diferente de la de un disco?
Por ejemplo, la respuesta afirmativa para el problema esférico de Bernstein cuando n = 3 es equivalente al hecho de que la topología local en un punto singular aislado de cualquier hipersuperficie mínima en una 4-variedad Riemanniana arbitraria debe ser diferente de la de un disco.
