Problema de Kepler

En mecánica clásica , el problema de Kepler es un caso especial del problema de los dos cuerpos , en el que los dos cuerpos interactúan mediante una fuerza central cuya intensidad varía según el cuadrado inverso de la distancia entre ellos. La fuerza puede ser atractiva o repulsiva. El problema consiste en encontrar la posición o la velocidad de los dos cuerpos a lo largo del tiempo dadas sus masas , posiciones y velocidades . Utilizando la mecánica clásica, la solución se puede expresar como una órbita de Kepler utilizando seis elementos orbitales .

El problema de Kepler debe su nombre a Johannes Kepler , quien propuso las leyes de Kepler del movimiento planetario (que son parte de la mecánica clásica y resolvió el problema para las órbitas de los planetas) e investigó los tipos de fuerzas que darían como resultado órbitas que obedecieran esas leyes (llamado problema inverso de Kepler ). ^[1]

Para una discusión del problema de Kepler específico para órbitas radiales, véase Trayectoria radial . La relatividad general proporciona soluciones más precisas al problema de los dos cuerpos, especialmente en campos gravitatorios fuertes .

Aplicaciones

La ley del cuadrado inverso detrás del problema de Kepler es la ley de fuerza central más importante. ^[1]^{: 92} El problema de Kepler es importante en mecánica celeste , ya que la gravedad newtoniana obedece a una ley del cuadrado inverso . Los ejemplos incluyen un satélite que se mueve alrededor de un planeta, un planeta alrededor de su sol o dos estrellas binarias una alrededor de la otra. El problema de Kepler también es importante en el movimiento de dos partículas cargadas, ya que la ley de Coulomb de la electrostática también obedece a una ley del cuadrado inverso .

El problema de Kepler y el problema del oscilador armónico simple son los dos problemas más fundamentales de la mecánica clásica . Son los únicos dos problemas que tienen órbitas cerradas para cada conjunto posible de condiciones iniciales, es decir, regresan a su punto de partida con la misma velocidad ( teorema de Bertrand ). ^[1]^{: 92}

El problema de Kepler también conserva el vector de Laplace-Runge-Lenz , que desde entonces se ha generalizado para incluir otras interacciones. La solución del problema de Kepler permitió a los científicos demostrar que el movimiento planetario podía explicarse completamente mediante la mecánica clásica y la ley de la gravedad de Newton ; la explicación científica del movimiento planetario desempeñó un papel importante en el inicio de la Ilustración .

Historia

El problema de Kepler comienza con los resultados empíricos que Johannes Kepler obtuvo con mucho esfuerzo a partir del análisis de las observaciones astronómicas de Tycho Brache . Después de unos 70 intentos de relacionar los datos con órbitas circulares, Kepler dio con la idea de la órbita elíptica . Finalmente, resumió sus resultados en forma de tres leyes del movimiento planetario . ^[2]

El problema de Kepler fue analizado por primera vez por Isaac Newton como parte principal de sus Principia . Su "Teorema I" comienza con los dos primeros de sus tres axiomas o leyes del movimiento y da como resultado la segunda ley de Kepler del movimiento planetario. A continuación, Newton demuestra su "Teorema II", que muestra que si se cumple la segunda ley de Kepler, entonces la fuerza involucrada debe estar a lo largo de la línea entre los dos cuerpos. En otras palabras, Newton demuestra lo que hoy podría llamarse el "problema inverso de Kepler": las características de la órbita requieren que la fuerza dependa del cuadrado inverso de la distancia. ^[3]^{: 107}

Definición matemática

La fuerza central F entre dos objetos varía en intensidad según el cuadrado inverso de la distancia r entre ellos:

\mathbf {F} ={\frac {k}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}}

donde k es una constante y representa el vector unitario a lo largo de la línea entre ellos. ^[4] La fuerza puede ser atractiva ( k < 0) o repulsiva ( k > 0). El potencial escalar correspondiente es: $\mathbf {\hat {r}}$

V(r)={\frac {k}{r}}

Solución del problema de Kepler

La ecuación de movimiento para el radio de una partícula de masa que se mueve en un potencial central está dada por las ecuaciones de Lagrange. ${\estilo de visualización r}$ ${\estilo de visualización m}$ $V(r)$

m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-mr\omega ^{2}=m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {L^{2}}{mr^{3}}}=-{\frac {dV}{dr}}

$\omega \equiv {\frac {d\theta }{dt}}$ y el momento angular se conserva. A modo de ejemplo, el primer término del lado izquierdo es cero para órbitas circulares y la fuerza aplicada hacia adentro es igual al requisito de fuerza centrípeta , como se esperaba. $L=señor^{2}\omega$ ${\frac {dV}{dr}}$ $mr\omega ^{2}$

Si L no es cero, la definición de momento angular permite un cambio de variable independiente de a ${\estilo de visualización t}$ ${\estilo de visualización \theta}$

{\frac {d}{dt}}={\frac {L}{mr^{2}}}{\frac {d}{d\theta }}

Dando la nueva ecuación de movimiento que es independiente del tiempo

{\frac {L}{r^{2}}}{\frac {d}{d\theta }}\left({\frac {L}{mr^{2}}}{\frac {dr}{d\theta }}\right)-{\frac {L^{2}}{mr^{3}}}=-{\frac {dV}{dr}}

La expansión del primer término es

{\frac {L}{r^{2}}}{\frac {d}{d\theta }}\left({\frac {L}{mr^{2}}}{\frac {dr}{d\theta }}\right)=-{\frac {2L^{2}}{mr^{5}}}\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}+{\frac {L^{2}}{mr^{4}}}{\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}

Esta ecuación se vuelve cuasilineal al hacer el cambio de variables y multiplicar ambos lados por $u\equiv {\frac {1}{r}}$ ${\frac {mr^{2}}{L^{2}}}$

{\frac {du}{d\theta }}={\frac {-1}{r^{2}}}{\frac {dr}{d\theta }}

{\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}={\frac {2}{r^{3}}}\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}-{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}

Después de la sustitución y reordenamiento:

{\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-{\frac {m}{L^{2}}}{\frac {d}{du}}V\left({\frac {1}{u}}\right)

Para una ley de fuerza del cuadrado inverso, como el potencial gravitacional o electrostático , el potencial escalar se puede escribir

V(\mathbf {r} )={\frac {k}{r}}=ku

La órbita se puede derivar de la ecuación general $u(\theta )$

{\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-{\frac {m}{L^{2}}}{\frac {d}{du}}V\left({\frac {1}{u}}\right)=-{\frac {km}{L^{2}}}

cuya solución es la constante más una senoide simple $-{\frac {km}{L^{2}}}$

u\equiv {\frac {1}{r}}=-{\frac {km}{L^{2}}}\left[1+e\cos(\theta -\theta _{0})\right]

donde (la excentricidad ) y (el desfase de fase ) son constantes de integración. $e$ $\theta _{0}$

Esta es la fórmula general para una sección cónica que tiene un foco en el origen; corresponde a un círculo , corresponde a una elipse, corresponde a una parábola y corresponde a una hipérbola . La excentricidad está relacionada con la energía total (cf. el vector de Laplace–Runge–Lenz ) $e=0$ $e<1$ $e=1$ $e>1$ $e$ $E$

e={\sqrt {1+{\frac {2EL^{2}}{k^{2}m}}}}

Comparando estas fórmulas se observa que corresponde a una elipse (todas las soluciones que son órbitas cerradas son elipses), corresponde a una parábola y corresponde a una hipérbola . En particular, para órbitas perfectamente circulares (la fuerza central es exactamente igual a la fuerza centrípeta requerida , que determina la velocidad angular requerida para un radio circular dado). $E<0$ $E=0$ $E>0$ $E=-{\frac {k^{2}m}{2L^{2}}}$

Para una fuerza repulsiva ( k > 0) solo se aplica e > 1.

Véase también

Referencias

^ abc Goldstein, Herbert (1980). Mecánica clásica . Serie de Addison-Wesley en física (2.ª ed.). Reading, Mass.: Addison-Wesley . ISBN 978-0-201-02969-7.
^ Cooper, Leon N. (1981). Introducción al significado y la estructura de la física. Peleus Press. OCLC 15205048.
^ Speiser, David (agosto de 1996). "El problema de Kepler desde Newton hasta Johann Bernoulli". Archivo de Historia de las Ciencias Exactas . 50 (2): 103–116. doi :10.1007/BF02327155. ISSN 0003-9519.
^ Arnolʹd, VI (2009). Métodos matemáticos de la mecánica clásica. Textos de posgrado en matemáticas (2. ed.). Nueva York, NY: Springer . p. 38. ISBN 978-0-387-96890-2.