Ecuación de Poisson discreta

Ecuación de diferencias finitas

En matemáticas , la ecuación de Poisson discreta es el análogo en diferencias finitas de la ecuación de Poisson . En ella, el operador discreto de Laplace ocupa el lugar del operador de Laplace . La ecuación de Poisson discreta se utiliza con frecuencia en el análisis numérico como sustituto de la ecuación de Poisson continua, aunque también se estudia por derecho propio como un tema en matemáticas discretas .

En una cuadrícula rectangular bidimensional

Si se utiliza el método numérico de diferencias finitas para discretizar la ecuación de Poisson bidimensional (suponiendo una discretización espacial uniforme, ) en una cuadrícula de m × n, se obtiene la siguiente fórmula: ^[1] donde y . La disposición preferida del vector solución es utilizar el orden natural que, antes de eliminar los elementos de contorno, se vería así: ${\displaystyle \Delta x=\Delta y}$ $${\displaystyle ({\nabla }^{2}u)_{ij}={\frac {1}{\Delta x^{2}}}(u_{i+1,j}+u_{i-1,j}+u_{i,j+1}+u_{i,j-1}-4u_{ij})=g_{ij}}$$ ${\displaystyle 2\leq i\leq m-1}$ ${\displaystyle 2\leq j\leq n-1}$ $${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}u_{11},u_{21},\ldots ,u_{m1},u_{12},u_{22},\ldots ,u_{m2},\ldots ,u_{mn}\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}}$$

Esto dará como resultado un sistema lineal mn × mn : donde $${\displaystyle A\mathbf {u} =\mathbf {b} }$$ $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}~D&-I&~0&~0&~0&\cdots &~0\\-I&~D&-I&~0&~0&\cdots &~0\\~0&-I&~D&-I&~0&\cdots &~0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\~0&\cdots &~0&-I&~D&-I&~0\\~0&\cdots &\cdots &~0&-I&~D&-I\\~0&\cdots &\cdots &\cdots &~0&-I&~D\end{bmatrix}},}$$

${\displaystyle I}$es la matriz identidad m × m , y , también m × m , viene dada por: ^[2] y está definida por ${\displaystyle D}$ $${\displaystyle D={\begin{bmatrix}~4&-1&~0&~0&~0&\cdots &~0\\-1&~4&-1&~0&~0&\cdots &~0\\~0&-1&~4&-1&~0&\cdots &~0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\~0&\cdots &~0&-1&~4&-1&~0\\~0&\cdots &\cdots &~0&-1&~4&-1\\~0&\cdots &\cdots &\cdots &~0&-1&~4\end{bmatrix}},}$$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$ $${\displaystyle \mathbf {b} =-\Delta x^{2}{\begin{bmatrix}g_{11},g_{21},\ldots ,g_{m1},g_{12},g_{22},\ldots ,g_{m2},\ldots ,g_{mn}\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}.}$$

Para cada ecuación, las columnas de corresponden a un bloque de componentes en : mientras que las columnas de a la izquierda y derecha de cada una corresponden a otros bloques de componentes dentro de : y ${\displaystyle u_{ij}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle u}$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}u_{1j},&u_{2j},&\ldots ,&u_{i-1,j},&u_{ij},&u_{i+1,j},&\ldots ,&u_{mj}\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}}$$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle u}$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}u_{1,j-1},&u_{2,j-1},&\ldots ,&u_{i-1,j-1},&u_{i,j-1},&u_{i+1,j-1},&\ldots ,&u_{m,j-1}\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}}$$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}u_{1,j+1},&u_{2,j+1},&\ldots ,&u_{i-1,j+1},&u_{i,j+1},&u_{i+1,j+1},&\ldots ,&u_{m,j+1}\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}}$$

respectivamente.

De lo anterior, se puede inferir que hay columnas de bloques de en . Es importante tener en cuenta que los valores prescritos de (que normalmente se encuentran en el límite) tendrían sus elementos correspondientes eliminados de y . Para el caso común de que todos los nodos en el límite estén establecidos, tenemos y , y el sistema tendría las dimensiones ( m − 2)( n − 2) × ( m − 2)( n − 2) , donde y tendrían dimensiones  ( m − 2) × ( m − 2) . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle 2\leq i\leq m-1}$ ${\displaystyle 2\leq j\leq n-1}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle I}$

Ejemplo

Para una cuadrícula de 3×3 ( y ) con todos los nodos límite prescritos, el sistema se vería así: con y ${\displaystyle m=3}$ ${\displaystyle n=3}$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}U\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u_{22},u_{32},u_{42},u_{23},u_{33},u_{43},u_{24},u_{34},u_{44}\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}}$$ $${\displaystyle A=\left[{\begin{array}{ccc|ccc|ccc}~4&-1&~0&-1&~0&~0&~0&~0&~0\\-1&~4&-1&~0&-1&~0&~0&~0&~0\\~0&-1&~4&~0&~0&-1&~0&~0&~0\\\hline -1&~0&~0&~4&-1&~0&-1&~0&~0\\~0&-1&~0&-1&~4&-1&~0&-1&~0\\~0&~0&-1&~0&-1&~4&~0&~0&-1\\\hline ~0&~0&~0&-1&~0&~0&~4&-1&~0\\~0&~0&~0&~0&-1&~0&-1&~4&-1\\~0&~0&~0&~0&~0&-1&~0&-1&~4\end{array}}\right]}$$

$${\displaystyle \mathbf {b} =\left[{\begin{array}{l}-\Delta x^{2}g_{22}+u_{12}+u_{21}\\-\Delta x^{2}g_{32}+u_{31}~~~~~~~~\\-\Delta x^{2}g_{42}+u_{52}+u_{41}\\-\Delta x^{2}g_{23}+u_{13}~~~~~~~~\\-\Delta x^{2}g_{33}~~~~~~~~~~~~~~~~\\-\Delta x^{2}g_{43}+u_{53}~~~~~~~~\\-\Delta x^{2}g_{24}+u_{14}+u_{25}\\-\Delta x^{2}g_{34}+u_{35}~~~~~~~~\\-\Delta x^{2}g_{44}+u_{54}+u_{45}\end{array}}\right].}$$

Como se puede ver, los límites se llevan al lado derecho de la ecuación. ^[3] El sistema completo es 9 × 9 mientras que y son 3 × 3 y están dados por: y ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle I}$ $${\displaystyle D={\begin{bmatrix}~4&-1&~0\\-1&~4&-1\\~0&-1&~4\\\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle -I={\begin{bmatrix}-1&~0&~0\\~0&-1&~0\\~0&~0&-1\end{bmatrix}}.}$$

Métodos de solución

Debido a que es un sistema lineal tridiagonal y disperso, se han desarrollado muchos métodos de solución para resolver de manera óptima este sistema lineal para . Entre los métodos se encuentran un algoritmo de Thomas generalizado con una complejidad computacional resultante de , reducción cíclica , sobrerelajación sucesiva que tiene una complejidad de , y transformadas rápidas de Fourier que es . También se puede calcular una solución óptima utilizando métodos multigrid . ^[4] ${\displaystyle {\begin{bmatrix}A\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}U\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle O(n^{2.5})}$ ${\displaystyle O(n^{1.5})}$ ${\displaystyle O(n\log(n))}$ ${\displaystyle O(n)}$

Convergencia de Poisson de varios métodos iterativos con normas infinitas de residuos frente al número de iteraciones y el tiempo de la computadora.

Aplicaciones

En dinámica de fluidos computacional , para la solución de un problema de flujo incompresible, la condición de incompresibilidad actúa como una restricción para la presión. No hay una forma explícita disponible para la presión en este caso debido a un fuerte acoplamiento de los campos de velocidad y presión. En esta condición, al tomar la divergencia de todos los términos en la ecuación de momento, se obtiene la ecuación de Poisson de la presión.

Para un flujo incompresible, esta restricción está dada por: donde es la velocidad en la dirección, es la velocidad en y es la velocidad en la dirección. Tomando la divergencia de la ecuación de momento y usando la restricción de incompresibilidad, la ecuación de Poisson de presión está dada por: donde es la viscosidad cinemática del fluido y es el vector de velocidad. ^[5] $${\displaystyle {\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}=0}$$ ${\displaystyle v_{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle v_{y}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle v_{z}}$ ${\displaystyle z}$ $${\displaystyle \nabla ^{2}p=f(\nu ,V)}$$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle V}$

La ecuación de Poisson discreta surge en la teoría de cadenas de Markov . Aparece como la función de valor relativo para la ecuación de programación dinámica en un proceso de decisión de Markov y como la variable de control para su aplicación en la reducción de la varianza de la simulación. ^{[6] [7] [8]}

Notas al pie

1. Hoffman, Joe (2001), "Capítulo 9. Ecuaciones diferenciales parciales elípticas", Métodos numéricos para ingenieros y científicos (2.ª ed.), McGraw–Hill, ISBN 0-8247-0443-6.
2. Golub, Gene H. y CF Van Loan, Matrix Computations, 3.ª edición , The Johns Hopkins University Press, Baltimore, 1996, páginas 177–180.
3. Cheny, Ward y David Kincaid, Matemáticas numéricas y computación 2.ª ed. , Brooks/Cole Publishing Company, Pacific Grove, 1985, páginas 443–448.
4. CS267: Notas para las clases 15 y 16, 5 y 7 de marzo de 1996, https://people.eecs.berkeley.edu/~demmel/cs267/lecture24/lecture24.html
5. Fletcher, Clive AJ, Técnicas computacionales para dinámica de fluidos: Vol I , 2.ª edición, Springer-Verlag, Berlín, 1991, páginas 334–339.
6. SP Meyn y RL Tweedie, 2005. Cadenas de Markov y estabilidad estocástica. Segunda edición próxima a publicarse, Cambridge University Press, 2009.
7. SP Meyn, 2007. Técnicas de control para redes complejas Archivado el 16 de diciembre de 2014 en Wayback Machine , Cambridge University Press, 2007.
8. Asmussen, Søren, Glynn, Peter W., 2007. "Simulación estocástica: algoritmos y análisis". Springer. Serie: Modelado estocástico y probabilidad aplicada, vol. 57, 2007.

Referencias

• Hoffman, Joe D., Métodos numéricos para ingenieros y científicos, 4.ª ed. , McGraw–Hill Inc., Nueva York, 1992.
• Sweet, Roland A. , SIAM Journal on Numerical Analysis, vol. 11, núm. 3 , junio de 1974, 506–520.
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). "Sección 20.4. Métodos de reducción cíclica y de Fourier". Recetas numéricas: el arte de la computación científica (3.ª ed.). Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8. Archivado desde el original el 11 de agosto de 2011 . Consultado el 18 de agosto de 2011 .