La reducción cíclica es un método numérico para resolver sistemas lineales grandes dividiendo repetidamente el problema. Cada paso elimina filas y columnas pares o impares de una matriz y permanece en una forma similar. El paso de eliminación es relativamente costoso, pero dividir el problema permite realizar cálculos en paralelo.
El método sólo se aplica a matrices que se pueden representar como una matriz de Toeplitz (en bloques) . Estos problemas suelen surgir en soluciones implícitas para ecuaciones diferenciales parciales en una red. Por ejemplo, los solucionadores rápidos para la ecuación de Poisson expresan el problema como la solución de una matriz tridiagonal, discretizando la solución en una red regular.
Los sistemas que tienen una buena estabilidad numérica inicialmente tienden a mejorar con cada paso. Además, hasta un punto en el que se puede dar una buena solución aproximada [1] , pero como se debe conservar la forma especial de la matriz, no se puede realizar un pivoteo para mejorar la precisión numérica.
El método no es iterativo, busca una solución exacta al problema lineal consistente con los valores límite dados; contrasta con el método multigrid similar pero computacionalmente más económico que propaga las estimaciones de corrección de errores hacia abajo y permite diferentes parámetros de relajación en diferentes escalas; el aspecto iterativo permite una mejor incorporación de características no lineales.
La transformación desde el dominio espacial y la reformulación de la EDP se denomina método espectral . El análisis de Fourier y la reducción cíclica se combinan en el algoritmo FACR [2] que se explica en Recetas numéricas; consulte 19.4 Métodos de reducción cíclica y de Fourier para problemas de valores en la frontera. [3]