El principio del círculo vicioso es un principio que fue respaldado por muchos matemáticos predicativistas a principios del siglo XX para evitar contradicciones. El principio establece que ningún objeto o propiedad puede ser introducido por una definición que dependa de ese objeto o propiedad en sí. Además de descartar definiciones que son explícitamente circulares (como "un objeto tiene la propiedad P si y solo si no está junto a nada que tenga la propiedad P "), este principio descarta definiciones que cuantifiquen sobre dominios que incluyan la entidad que se está definiendo. Por lo tanto, bloquea la paradoja de Russell , que define un conjunto R que contiene todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos. Esta definición está bloqueada porque define un nuevo conjunto en términos de la totalidad de todos los conjuntos, de los cuales este nuevo conjunto sería en sí mismo un miembro.
Sin embargo, también bloquea una definición estándar de los números naturales . Primero, definimos una propiedad como " hereditaria " si, siempre que un número n tiene la propiedad, también la tiene n + 1. Luego decimos que x tiene la propiedad de ser un número natural si y solo si tiene todas las propiedades hereditarias que tiene 0. Esta definición está bloqueada, porque define "número natural" en términos de la totalidad de todas las propiedades hereditarias, pero "número natural" en sí mismo sería una propiedad hereditaria de ese tipo, por lo que la definición es circular en este sentido.
La mayoría de los matemáticos y filósofos de las matemáticas modernos piensan que esta definición particular no es circular en ningún sentido problemático, y por lo tanto rechazan el principio del círculo vicioso. Pero fue respaldado por muchos investigadores de principios del siglo XX, incluidos Bertrand Russell y Henri Poincaré . Por otro lado, Frank P. Ramsey y Rudolf Carnap aceptaron la prohibición de la circularidad explícita, pero argumentaron en contra de la prohibición de la cuantificación circular. Después de todo, la definición "sea T el hombre más alto de la habitación" define a T por medio de la cuantificación sobre un dominio (hombres en la habitación) del cual T es miembro. Pero esto no es problemático, sugieren, porque la definición en realidad no crea a la persona, sino que simplemente muestra cómo elegirla de la totalidad. De manera similar, sugieren, las definiciones en realidad no crean conjuntos o propiedades u objetos, sino que simplemente brindan una forma de elegir la entidad ya existente de la colección de la que forma parte. Por lo tanto, este tipo de circularidad en términos de cuantificación no puede causar ningún problema.
Este principio fue la razón por la que Russell desarrolló la teoría ramificada de tipos en lugar de la teoría de tipos simples . (Véase "Jerarquía ramificada y principios impredicativos". [1] )
Un análisis de las paradojas que hay que evitar muestra que todas ellas son resultado de una especie de círculo vicioso. Los círculos viciosos en cuestión surgen de suponer que una colección de objetos puede contener miembros que sólo pueden definirse por medio de la colección en su conjunto. Así, por ejemplo, se supondrá que la colección de proposiciones contiene una proposición que afirma que “todas las proposiciones son verdaderas o falsas”. Sin embargo, parecería que tal afirmación no podría ser legítima a menos que “todas las proposiciones” se refirieran a una colección ya definida, lo que no puede ser si se crean nuevas proposiciones mediante afirmaciones sobre “todas las proposiciones”. Por lo tanto, tendremos que decir que las afirmaciones sobre “todas las proposiciones” carecen de sentido… El principio que nos permite evitar totalidades ilegítimas puede enunciarse de la siguiente manera: “Todo lo que implica la totalidad de una colección no debe ser uno de los elementos de la colección”; o, a la inversa: “Si, siempre que una cierta colección tuviera un total, tuviera miembros que sólo pudieran definirse en términos de ese total, entonces dicha colección no tendría total”. Lo llamaremos el “principio del círculo vicioso”, porque nos permite evitar los círculos viciosos que implica la suposición de totalidades ilegítimas. (Whitehead y Russell 1910, 37) (citado en la entrada de la Stanford Encyclopedia of Philosophy sobre la paradoja de Russell)