Principio de incertidumbre de Küpfmüller

El principio de incertidumbre de Küpfmüller, formulado por Karl Küpfmüller en el año 1924, establece que la relación entre el tiempo de subida de una señal de banda limitada y su ancho de banda es una constante. ^[1]

${\displaystyle \Delta f\Delta t\geq k}$

con cualquiera o ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$

Prueba

Una señal de banda limitada con transformada de Fourier viene dada por la multiplicación de cualquier señal con una función rectangular de ancho en el dominio de la frecuencia: ${\displaystyle u(t)}$ ${\displaystyle {\hat {u}}(f)}$ ${\displaystyle {\underline {\hat {u}}}(f)}$ ${\displaystyle \Delta f}$

${\displaystyle {\hat {g}}(f)=\operatorname {rect} \left({\frac {f}{\Delta f}}\right)=\chi _{[-\Delta f/2,\Delta f/2]}(f):={\begin{cases}1&|f|\leq \Delta f/2\\0&{\text{else}}\end{cases}}.}$

Esta multiplicación con una función rectangular actúa como un filtro limitador de banda y da como resultado ${\displaystyle {\hat {u}}(f)={\hat {g}}(f){\underline {\hat {u}}}(f)=:{{\underline {\hat {u}}}(f)}{{\Big |}_{\Delta f}}.}$

Aplicando el teorema de la convolución , también sabemos

${\displaystyle {\hat {g}}(f)\cdot {\hat {u}}(f)={\mathcal {F}}((g*u)(t))}$

Dado que la transformada de Fourier de una función rectangular es una función sinc y viceversa, se sigue directamente por definición que ${\displaystyle \operatorname {si} }$

${\displaystyle g(t)={\mathcal {F}}^{-1}({\hat {g}})(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-{\frac {\Delta f}{2}}}^{\frac {\Delta f}{2}}1\cdot e^{j2\pi ft}df={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot \Delta f\cdot \operatorname {si} \left({\frac {2\pi t\cdot \Delta f}{2}}\right)}$

Ahora la primera raíz está en . Este es el tiempo de subida del pulso . Dado que el tiempo de subida influye en la rapidez con la que g(t) puede pasar de 0 a su máximo, afecta la rapidez con la que la señal limitada por ancho de banda pasa de 0 a su valor máximo. ${\displaystyle g(\Delta t)=0}$ ${\displaystyle \Delta t=\pm {\frac {1}{\Delta f}}}$ ${\displaystyle \Delta t}$ ${\displaystyle g(t)}$

Tenemos el importante hallazgo de que el tiempo de subida está inversamente relacionado con el ancho de banda de frecuencia:

${\displaystyle \Delta t={\frac {1}{\Delta f}},}$

cuanto menor sea el tiempo de subida, más amplio debe ser el ancho de banda de frecuencia.

La igualdad se da siempre que sea finita. ${\displaystyle \Delta t}$

Respecto a que una señal real tiene frecuencias positivas y negativas de la misma banda de frecuencia, se convierte en , lo que lleva a en lugar de ${\displaystyle \Delta f}$ ${\displaystyle 2\cdot \Delta f}$ ${\displaystyle k={\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle k=1}$

Ver también

• El principio de incertidumbre de Heisenberg
• Teorema de Nyquist

Referencias

1. Rohling, Hermann [en alemán] (2007). "Digitale Übertragung im Basisband" (PDF) . Nachrichtenübertragung I (en alemán). Institut für Nachrichtentechnik, Technische Universität Hamburg-Harburg . Archivado desde el original (PDF) el 12 de julio de 2007 . Consultado el 12 de julio de 2007 .

Otras lecturas

• Küpfmüller, Karl ; Kohn, Gerhard (2000). Theoretische Elektrotechnik und Elektronik (en alemán). Berlín, Heidelberg: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-56500-0.
• Hoffmann, Rüdiger (2005). Grundlagen der Frequenzanalyse - Eine Einführung für Ingenieure und Informatiker (en alemán) (2 ed.). Renningen, Alemania: Expert Verlag. ISBN 3-8169-2447-6.
• Girod, Bernd ; Rabenstein, Rudolf; Stenger, Alejandro (2007). Einführung in die Systemtheorie (en alemán) (4 ed.). Wiesbaden, Alemania: Teubner Verlag . ISBN 978-3-83510176-0.

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