Limitación de banda

Limitar una señal para que contenga solo componentes de baja frecuencia

La limitación de banda se refiere a un proceso que reduce la energía de una señal a un nivel aceptablemente bajo fuera de un rango de frecuencia deseado .

La limitación de banda es una parte esencial de muchas aplicaciones en procesamiento de señales y comunicaciones. Los ejemplos incluyen el control de la interferencia entre señales de comunicaciones de radiofrecuencia y la gestión de la distorsión de alias asociada con el muestreo para el procesamiento de señales digitales .

Espectro de una señal de banda base de banda limitada en función de la frecuencia

Señales de banda limitada

Una señal de banda limitada es, estrictamente hablando, una señal con energía cero fuera de un rango de frecuencia definido. En la práctica, una señal se considera de banda limitada si su energía fuera de un rango de frecuencia es lo suficientemente baja como para considerarse insignificante en una aplicación determinada.

Una señal de banda limitada puede ser aleatoria ( estocástica ) o no aleatoria ( determinista ).

En general, se requieren infinitos términos en una representación continua de una señal en serie de Fourier , pero si se puede calcular un número finito de términos de la serie de Fourier a partir de esa señal, esa señal se considera de banda limitada. En terminología matemática, una señal de banda limitada tiene una transformada de Fourier o densidad espectral con soporte acotado .

Muestreo de señales con banda limitada

Una señal de banda limitada se puede reconstruir completamente a partir de sus muestras, siempre que la frecuencia de muestreo exceda el doble del ancho de banda de la señal. Esta tasa de muestreo mínima se denomina tasa de Nyquist asociada con el teorema de muestreo de Nyquist-Shannon .

Las señales del mundo real no están estrictamente limitadas en banda y las señales de interés suelen tener energía no deseada fuera de la banda de interés. Debido a esto, las funciones de muestreo y las funciones de procesamiento de señales digitales que cambian las frecuencias de muestreo generalmente requieren filtros limitadores de banda para controlar la cantidad de distorsión de aliasing . Los filtros limitadores de banda deben diseñarse cuidadosamente para gestionar otras distorsiones porque alteran la señal de interés tanto en su magnitud y fase en el dominio de la frecuencia como en sus propiedades en el dominio del tiempo .

Un ejemplo de una señal determinista simple de banda limitada es una sinusoide de la forma Si esta señal se muestrea a una velocidad tal que tengamos las muestras para todos los números enteros , podemos recuperarnos completamente de estas muestras. De manera similar, las sumas de sinusoides con diferentes frecuencias y fases también están limitadas en banda a la más alta de sus frecuencias. ${\displaystyle x(t)=\sin(2\pi ft+\theta ).}$ ${\displaystyle f_{s}={\tfrac {1}{T}}>2f}$ ${\displaystyle x(nT),}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x(t)}$

La señal cuya transformada de Fourier se muestra en la figura también tiene banda limitada. Supongamos que es una señal cuya transformada de Fourier es cuya magnitud se muestra en la figura. El componente de frecuencia más alto es Como resultado, la tasa de Nyquist es ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle X(f),}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle B.}$

${\displaystyle R_{N}=2B\,}$

o dos veces el componente de frecuencia más alta de la señal, como se muestra en la figura. Según el teorema de muestreo, es posible reconstruir completa y exactamente utilizando las muestras. ${\displaystyle x(t)\ }$

${\displaystyle x[n]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ x(nT)=x\left({n \over f_{s}}\right)}$para todos los números enteros y ${\displaystyle n\,}$ ${\displaystyle T\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {1 \over f_{s}}}$

mientras

${\displaystyle f_{s}>R_{N}\,}$

La reconstrucción de una señal a partir de sus muestras se puede lograr utilizando la fórmula de interpolación de Whittaker-Shannon .

Banda limitada versus tiempo limitado

Una señal con banda limitada no puede tener también una duración limitada. Más precisamente, una función y su transformada de Fourier no pueden tener soporte finito a menos que sean idénticamente cero. Este hecho se puede demostrar mediante análisis complejos y propiedades de la transformada de Fourier.

Prueba: Supongamos que existe una señal f(t) que tiene soporte finito en ambos dominios y no es idénticamente cero. Muestreemoslo más rápido que la frecuencia de Nyquist y calculemos la transformada de Fourier respectiva y la transformada de Fourier en tiempo discreto . Según las propiedades de DTFT, donde es la frecuencia utilizada para la discretización. Si f tiene una banda limitada, es cero fuera de un cierto intervalo, por lo que si es lo suficientemente grande , también será cero en algunos intervalos, ya que los soportes individuales de en suma no se superpondrán. Según la definición de DTFT, es una suma de funciones trigonométricas, y dado que f(t) tiene un límite de tiempo, esta suma será finita, por lo que en realidad será un polinomio trigonométrico . Todos los polinomios trigonométricos son holomorfos en un plano complejo completo , y hay un teorema simple en análisis complejo que dice que todos los ceros de una función holomorfa no constante están aislados . Pero esto contradice nuestro hallazgo anterior de que los intervalos están llenos de ceros, porque los puntos en dichos intervalos no están aislados. Por tanto, la única señal limitada en tiempo y ancho de banda es un cero constante. ${\displaystyle FT(f)=F_{1}(w)}$ ${\displaystyle DTFT(f)=F_{2}(w)}$ ${\displaystyle F_{2}(w)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }F_{1}(w+nf_{x})}$ ${\displaystyle f_{x}}$ ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle f_{x}}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle F_{2}}$

Una consecuencia importante de este resultado es que es imposible generar una señal verdaderamente de banda limitada en cualquier situación del mundo real, porque una señal de banda limitada requeriría un tiempo infinito para transmitirse. Todas las señales del mundo real tienen, necesariamente, un límite de tiempo , lo que significa que no pueden tener una banda limitada. Sin embargo, el concepto de señal de banda limitada es una idealización útil para fines teóricos y analíticos. Además, es posible aproximar una señal de banda limitada a cualquier nivel arbitrario de precisión deseado.

Una relación similar entre la duración en el tiempo y el ancho de banda en frecuencia también forma la base matemática del principio de incertidumbre en la mecánica cuántica . En ese entorno, el "ancho" de las funciones del dominio del tiempo y del dominio de la frecuencia se evalúan con una medida similar a la varianza . Cuantitativamente, el principio de incertidumbre impone la siguiente condición a cualquier forma de onda real:

${\displaystyle W_{B}T_{D}\geq 1}$

dónde

${\displaystyle W_{B}}$es una medida (adecuadamente elegida) de ancho de banda (en hercios), y

${\displaystyle T_{D}}$es una medida (adecuadamente elegida) de la duración del tiempo (en segundos).

En el análisis tiempo-frecuencia , estos límites se conocen como límite de Gabor y se interpretan como un límite en la resolución simultánea tiempo-frecuencia que se puede lograr.

Referencias

• William McC. Siebert (1986). Circuitos, Señales y Sistemas . Cambridge, MA: MIT Press.