Prima equilibrada

En teoría de números , un primo balanceado es un número primo con espacios primos de igual tamaño arriba y abajo, de modo que es igual a la media aritmética de los primos más cercanos arriba y abajo. O para decirlo algebraicamente , el número primo número es un primo balanceado si ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p_{n}}$

${\displaystyle p_{n}={{p_{n-1}+p_{n+1}} \over 2}.}$

Por ejemplo, 53 es el decimosexto primo; los primos decimoquinto y decimoséptimo, 47 y 59, suman 106, y la mitad de eso es 53; por tanto, 53 es un primo equilibrado.

Ejemplos

Los primeros primos balanceados son

5 , 53 , 157 , 173 , 211 , 257 , 263, 373, 563, 593, 607, 653, 733, 947, 977, 1103, 1123, 1187, 1223, 1367, 1511, 1747, 175 3, 1907, 2287, 2417, 2677, 2903 (secuencia A006562 en la OEIS ).

Infinitud

Problema no resuelto en matemáticas :

¿Existen infinitos números primos equilibrados?

(más problemas sin resolver en matemáticas)

Se conjetura que hay infinitos números primos equilibrados.

Tres números primos consecutivos en progresión aritmética a veces se denominan CPAP-3. Un cebador equilibrado es, por definición, el segundo cebador en un CPAP-3. En 2023, ^[actualizar]el CPAP-3 más grande conocido tiene 15004 dígitos decimales y fue encontrado por Serge Batalov. Es: ^[1]

${\displaystyle p_{n}=2494779036241\times 2^{49800}+7,\quad p_{n-1}=p_{n}-6,\quad p_{n+1}=p_{n}+6.}$

( Se desconoce el valor de n , es decir, su posición en la secuencia de todos los números primos).

Generalización

Los primos balanceados pueden generalizarse a los primos balanceados de orden n . Un primo equilibrado de orden n es un número primo que es igual a la media aritmética de los n primos más cercanos arriba y abajo. Algebraicamente, el número primo ésimo es un primo equilibrado de orden si ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle p_{k}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle p_{k}={\sum _{i=1}^{n}({p_{k-i}+p_{k+i})} \over 2n}.}$

Por tanto, un primo equilibrado ordinario es un primo equilibrado de orden 1. Las secuencias de primos equilibrados de órdenes 2, 3 y 4 son A082077 , A082078 y A082079 en el OEIS respectivamente.

Ver también

• Primo fuerte , un primo que es mayor que la media aritmética de sus dos primos vecinos
• Interprime , un número compuesto equilibrado entre dos vecinos primos

Referencias

1. Los CPAP más grandes conocidos. Recuperado el 6 de enero de 2023.