En geometría , el número de Heesch de una forma es el número máximo de capas de copias de la misma forma que pueden rodearla sin superposiciones ni espacios vacíos. El problema de Heesch es el problema de determinar el conjunto de números que pueden ser números de Heesch. Ambos reciben su nombre del geómetra Heinrich Heesch , [1] quien encontró una pieza con el número de Heesch 1 (la unión de un cuadrado, un triángulo equilátero y un triángulo rectángulo 30-60-90) [2] y propuso el problema más general. [3]
Por ejemplo, un cuadrado puede estar rodeado por infinitas capas de cuadrados congruentes en el mosaico cuadrado , mientras que un círculo no puede estar rodeado ni siquiera por una sola capa de círculos congruentes sin dejar algunos huecos. El número de Heesch del cuadrado es infinito y el número de Heesch del círculo es cero. En ejemplos más complicados, como el que se muestra en la ilustración, un mosaico poligonal puede estar rodeado por varias capas, pero no por infinitas; el número máximo de capas es el número de Heesch del mosaico.
Una teselación del plano es una partición del plano en regiones más pequeñas llamadas teselas . La corona cero de una tesela se define como la tesela misma, y para k > 0 la k ésima corona es el conjunto de teselas que comparten un punto límite con la corona ( k − 1) ésima. El número de Heesch de una figura S es el valor máximo k tal que existe una teselación del plano, y una tesela t dentro de esa teselación, para la cual todas las teselas en las coronas cero a k de t son congruentes con S. En algunos trabajos sobre este problema, esta definición se modifica para requerir adicionalmente que la unión de las coronas cero a k de t sea una región simplemente conexa . [5]
Si no existe un límite superior para el número de capas que puede rodear una pieza, se dice que su número de Heesch es infinito. En este caso, se puede utilizar un argumento basado en el lema de König para demostrar que existe una teselación de todo el plano mediante copias congruentes de la pieza. [6]
Consideremos el polígono no convexo P que se muestra en la figura de la derecha, que se forma a partir de un hexágono regular añadiendo proyecciones en dos de sus lados y sangrías coincidentes en tres lados. La figura muestra una teselación que consta de 61 copias de P , una gran región infinita y cuatro pequeños polígonos en forma de diamante dentro de la cuarta capa. Las coronas primera a cuarta del polígono central consisten enteramente en copias congruentes de P , por lo que su número de Heesch es al menos cuatro. No se pueden reorganizar las copias del polígono en esta figura para evitar crear los pequeños polígonos en forma de diamante, porque las 61 copias de P tienen demasiadas sangrías en relación con el número de proyecciones que podrían llenarlas. Al formalizar este argumento, se puede demostrar que el número de Heesch de P es exactamente cuatro. Según la definición modificada que requiere que las coronas estén simplemente conectadas, el número de Heesch es tres. Este ejemplo fue descubierto por Robert Ammann . [5]
Se desconoce si todos los números enteros positivos pueden ser números de Heesch. Los primeros ejemplos de polígonos con número de Heesch 2 fueron proporcionados por Fontaine (1991), quien demostró que una cantidad infinita de poliominós tienen esta propiedad. [5] [7] Casey Mann ha construido una familia de teselas, cada una con el número de Heesch 5. Las teselas de Mann tienen el número de Heesch 5 incluso con la definición restringida en la que cada corona debe estar simplemente conexa. [5] En 2020, Bojan Bašić encontró una figura con el número de Heesch 6, el número finito más alto hasta el momento. [4]
Para el problema correspondiente en el plano hiperbólico , el número de Heesch puede ser arbitrariamente grande. [10]