En la rama de las matemáticas conocida como topología , el preorden de especialización (o canónico ) es un preorden natural sobre el conjunto de los puntos de un espacio topológico . Para la mayoría de los espacios que se consideran en la práctica, es decir, para todos aquellos que satisfacen el axioma de separación T , este preorden es incluso un orden parcial (llamado orden de especialización ). Por otro lado, para espacios T 1 el orden se vuelve trivial y tiene poco interés.
El orden de especialización se considera a menudo en aplicaciones de informática , donde los espacios T 0 aparecen en la semántica denotacional . El orden de especialización también es importante para identificar topologías adecuadas en conjuntos parcialmente ordenados, como se hace en la teoría del orden .
Considere cualquier espacio topológico X . El preorden de especialización ≤ en X relaciona dos puntos de X cuando uno se encuentra en el cierre del otro. Sin embargo, varios autores no están de acuerdo sobre qué "dirección" debe tomar la orden. Lo que se acuerda [ cita necesaria ] es que si
(donde cl{ y } denota el cierre del conjunto singleton { y }, es decir, la intersección de todos los conjuntos cerrados que contienen { y }), decimos que x es una especialización de y y que y es una generalización de x ; esto se escribe comúnmente y ⤳ x .
Desafortunadamente, la propiedad " x es una especialización de y " se escribe alternativamente como " x ≤ y " y como " y ≤ x " por varios autores (ver, respectivamente, [1] y [2] ).
Ambas definiciones tienen justificaciones intuitivas: en el caso de la primera, tenemos
Sin embargo, en el caso en que nuestro espacio X sea el espectro primo Spec R de un anillo conmutativo R (que es la situación motivacional en aplicaciones relacionadas con la geometría algebraica ), entonces, según nuestra segunda definición del orden, tenemos
En aras de la coherencia, durante el resto de este artículo tomaremos la primera definición, que " x es una especialización de y " se escribirá como x ≤ y . Entonces vemos,
Estas reformulaciones ayudan a explicar por qué se habla de "especialización": y es más general que x , ya que está contenida en conjuntos más abiertos. Esto es particularmente intuitivo si uno considera los conjuntos cerrados como propiedades que un punto x puede tener o no. Cuanto más conjuntos cerrados contienen un punto, más propiedades tiene el punto y más especial es. El uso es consistente con las nociones lógicas clásicas de género y especie ; y también con el uso tradicional de puntos genéricos en geometría algebraica , en el que los puntos cerrados son los más específicos, mientras que un punto genérico de un espacio es aquel contenido en cada subconjunto abierto no vacío. La especialización como idea se aplica también en la teoría de la valoración .
La intuición de que los elementos superiores son más específicos se encuentra típicamente en la teoría de dominios , una rama de la teoría del orden que tiene amplias aplicaciones en informática.
Sea X un espacio topológico y sea ≤ el preorden de especialización en X. Todo conjunto abierto es un conjunto superior con respecto a ≤ y todo conjunto cerrado es un conjunto inferior . Lo contrario no suele ser cierto. De hecho, un espacio topológico es un espacio discreto de Alexandrov si y sólo si cada conjunto superior también es abierto (o equivalentemente, cada conjunto inferior también es cerrado).
Sea A un subconjunto de X . El conjunto superior más pequeño que contiene A se denota ↑ A y el conjunto inferior más pequeño que contiene A se denota ↓ A . En caso de que A = { x } sea un singleton, se usa la notación ↑ x y ↓ x . Para x ∈ X se tiene:
El conjunto inferior ↓ x siempre está cerrado; sin embargo, no es necesario que el conjunto superior ↑ x esté abierto o cerrado. Los puntos cerrados de un espacio topológico X son precisamente los elementos mínimos de X con respecto a ≤.
Como sugiere el nombre, el preorden de especialización es un preorden, es decir, es reflexivo y transitivo .
La relación de equivalencia determinada por el preorden de especialización es precisamente la de indistinguibilidad topológica . Es decir, xey son topológicamente indistinguibles si y sólo si x ≤ y y y ≤ x . Por tanto, la antisimetría de ≤ es precisamente el axioma de separación T 0 : si x e y son indistinguibles entonces x = y . En este caso se justifica hablar del orden de especialización .
Por otro lado, la simetría del preorden de especialización es equivalente al axioma de separación R 0 : x ≤ y si y sólo si xey son topológicamente indistinguibles. De ello se deduce que si la topología subyacente es T 1 , entonces el orden de especialización es discreto, es decir, se tiene x ≤ y si y sólo si x = y . Por tanto, el orden de especialización es de poco interés para las topologías T 1 , especialmente para todos los espacios de Hausdorff .
Cualquier función continua entre dos espacios topológicos es monótona con respecto a los preórdenes de especialización de estos espacios: implica. Sin embargo, lo contrario no es cierto en general. En el lenguaje de la teoría de categorías , tenemos entonces un funtor desde la categoría de espacios topológicos hasta la categoría de conjuntos preordenados que asigna a un espacio topológico su preorden de especialización. Este funtor tiene un adjunto izquierdo , que coloca la topología de Alexandrov en un conjunto preordenado.
Hay espacios más específicos que los espacios T 0 para los que este orden resulta interesante: los espacios sobrios . Su relación con el orden de especialización es más sutil:
Para cualquier espacio sobrio X con orden de especialización ≤, tenemos
Se puede describir la segunda propiedad diciendo que los conjuntos abiertos son inaccesibles por suprema dirigida . Una topología es consistente en orden con respecto a un cierto orden ≤ si induce ≤ como su orden de especialización y tiene la propiedad anterior de inaccesibilidad con respecto a la suprema (existente) de conjuntos dirigidos en ≤.
El orden de especialización produce una herramienta para obtener un pedido anticipado de cada topología. También es natural preguntar lo contrario: ¿se obtiene cada pedido anticipado como un pedido anticipado de especialización de alguna topología?
De hecho, la respuesta a esta pregunta es positiva y, en general, existen muchas topologías en un conjunto X que inducen un orden dado ≤ como su orden de especialización. La topología de Alexandroff del orden ≤ juega un papel especial: es la topología más fina que induce ≤. El otro extremo, la topología más burda que induce ≤, es la topología superior , la topología mínima dentro de la cual todos los complementos de conjuntos ↓ x (para algún x en X ) están abiertos.
También existen topologías interesantes entre estos dos extremos. La topología más sobria que es consistente en el orden en el sentido anterior para un orden dado ≤ es la topología de Scott . Sin embargo, la topología superior sigue siendo la topología más tosca y sobria en cuanto a coherencia de orden. De hecho, sus conjuntos abiertos son incluso inaccesibles para cualquier suprema. Por tanto, cualquier espacio sobrio con orden de especialización ≤ es más fino que la topología superior y más burdo que la topología de Scott. Sin embargo, tal espacio puede no existir, es decir, existen órdenes parciales para los cuales no existe una topología sobria y coherente con el orden. Especialmente, la topología de Scott no es necesariamente sobria.
