Potencial de Bessel

Potencial matemático

En matemáticas , el potencial de Bessel es un potencial (llamado así en honor a Friedrich Wilhelm Bessel ) similar al potencial de Riesz pero con mejores propiedades de desintegración en el infinito.

Si s es un número complejo con parte real positiva entonces el potencial de Bessel de orden s es el operador

${\displaystyle (I-\Delta )^{-s/2}}$

donde Δ es el operador de Laplace y la potencia fraccionaria se define utilizando transformadas de Fourier.

Los potenciales de Yukawa son casos particulares de potenciales de Bessel en el espacio tridimensional. ${\displaystyle s=2}$

Representación en el espacio de Fourier

El potencial de Bessel actúa por multiplicación de las transformadas de Fourier : para cada ${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} ^{d}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}((I-\Delta )^{-s/2}u)(\xi )={\frac {{\mathcal {F}}u(\xi )}{(1+4\pi ^{2}\vert \xi \vert ^{2})^{s/2}}}.}$

Representaciones integrales

Cuando , el potencial de Bessel en se puede representar por ${\displaystyle s>0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

${\displaystyle (I-\Delta )^{-s/2}u=G_{s}\ast u,}$

donde el núcleo de Bessel se define mediante la fórmula integral ^[1] ${\displaystyle G_{s}}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{d}\setminus \{0\}}$

${\displaystyle G_{s}(x)={\frac {1}{(4\pi )^{s/2}\Gamma (s/2)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-{\frac {\pi \vert x\vert ^{2}}{y}}-{\frac {y}{4\pi }}}}{y^{1+{\frac {d-s}{2}}}}}\,\mathrm {d} y.}$

Aquí se denota la función Gamma . El núcleo de Bessel también se puede representar por ^[2] ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{d}\setminus \{0\}}$

${\displaystyle G_{s}(x)={\frac {e^{-\vert x\vert }}{(2\pi )^{\frac {d-1}{2}}2^{\frac {s}{2}}\Gamma ({\frac {s}{2}})\Gamma ({\frac {d-s+1}{2}})}}\int _{0}^{\infty }e^{-\vert x\vert t}{\Big (}t+{\frac {t^{2}}{2}}{\Big )}^{\frac {d-s-1}{2}}\,\mathrm {d} t.}$

Esta última expresión se puede escribir de forma más sucinta en términos de una función de Bessel modificada , ^[3] de la que el potencial recibe su nombre:

${\displaystyle G_{s}(x)={\frac {1}{2^{(s-2)/2}(2\pi )^{d/2}\Gamma ({\frac {s}{2}})}}K_{(d-s)/2}(\vert x\vert )\vert x\vert ^{(s-d)/2}.}$

Asintóticos

En el origen, se tiene como , ^[4] ${\displaystyle \vert x\vert \to 0}$

${\displaystyle G_{s}(x)={\frac {\Gamma ({\frac {d-s}{2}})}{2^{s}\pi ^{s/2}\vert x\vert ^{d-s}}}(1+o(1))\quad {\text{ if }}0<s<d,}$

${\displaystyle G_{d}(x)={\frac {1}{2^{d-1}\pi ^{d/2}}}\ln {\frac {1}{\vert x\vert }}(1+o(1)),}$

${\displaystyle G_{s}(x)={\frac {\Gamma ({\frac {s-d}{2}})}{2^{s}\pi ^{s/2}}}(1+o(1))\quad {\text{ if }}s>d.}$

En particular, cuando el potencial de Bessel se comporta asintóticamente como el potencial de Riesz . ${\displaystyle 0<s<d}$

En el infinito, se tiene, como , ^[5] ${\displaystyle \vert x\vert \to \infty }$

${\displaystyle G_{s}(x)={\frac {e^{-\vert x\vert }}{2^{\frac {d+s-1}{2}}\pi ^{\frac {d-1}{2}}\Gamma ({\frac {s}{2}})\vert x\vert ^{\frac {d+1-s}{2}}}}(1+o(1)).}$

Véase también

• Potencial de Riesz
• Integración fraccionaria
• Espacio Sobolev
• Ecuación fraccionaria de Schrödinger
• Potencial de Yukawa

Referencias

1. Stein, Elias (1970). Integrales singulares y propiedades de diferenciabilidad de funciones . Princeton University Press. Capítulo V, ecuación (26). ISBN 0-691-08079-8.
2. N. Aronszajn; KT Smith (1961). "Teoría de los potenciales de Bessel I". Ann. Inst. Fourier . 11 . 385–475, (4,2). doi : 10.5802/aif.116 .
3. N. Aronszajn; KT Smith (1961). "Teoría de los potenciales de Bessel I". Ann. Inst. Fourier . 11 . 385–475. doi : 10.5802/aif.116 .
4. N. Aronszajn; KT Smith (1961). "Teoría de los potenciales de Bessel I". Ann. Inst. Fourier . 11 . 385–475, (4,3). doi : 10.5802/aif.116 .
5. N. Aronszajn; KT Smith (1961). "Teoría de los potenciales de Bessel I". Ann. Inst. Fourier . 11 : 385–475. doi : 10.5802/aif.116 .

• Duduchava, R. (2001) [1994], "Operador de potencial de Bessel", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Grafakos, Loukas (2009), Análisis moderno de Fourier , Graduate Texts in Mathematics , vol. 250 (2.ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-0-387-09434-2, ISBN 978-0-387-09433-5, MR  2463316, S2CID  117771953
• Hedberg, LI (2001) [1994], "Espacio potencial de Bessel", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Solomentsev, ED (2001) [1994], "Potencial de Bessel", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Stein, Elias (1970), Integrales singulares y propiedades de diferenciabilidad de funciones , Princeton, NJ: Princeton University Press , ISBN 0-691-08079-8