Función positiva-real

Las funciones reales positivas , a menudo abreviadas como función PR o PRF , son un tipo de función matemática que surgió por primera vez en la síntesis de redes eléctricas . Son funciones complejas , Z ( s ), de una variable compleja, s . Se define que una función racional tiene la propiedad PR si tiene una parte real positiva y es analítica en la mitad derecha del plano complejo y toma valores reales en el eje real.

En símbolos la definición es,

${\displaystyle {\begin{aligned}&\Re [Z(s)]>0\quad {\text{if}}\quad \Re (s)>0\\&\Im [Z(s)]=0\quad {\text{if}}\quad \Im (s)=0\end{aligned}}}$

En el análisis de redes eléctricas, Z ( s ) representa una expresión de impedancia y s es la variable de frecuencia compleja , a menudo expresada como sus partes reales e imaginarias;

${\displaystyle s=\sigma +i\omega \,\!}$

en qué términos se puede enunciar la condición PR;

${\displaystyle {\begin{aligned}&\Re [Z(s)]>0\quad {\text{if}}\quad \sigma >0\\&\Im [Z(s)]=0\quad {\text{if}}\quad \omega =0\end{aligned}}}$

La importancia para el análisis de redes de la condición PR radica en la condición de realizabilidad. Z ( s ) es realizable como una impedancia racional de un puerto si y solo si cumple la condición PR. Realizable en este sentido significa que la impedancia se puede construir a partir de un número finito (por lo tanto racional) de elementos lineales pasivos ideales discretos ( resistencias , inductores y condensadores en terminología eléctrica). ^[1]

Definición

El término función real positiva fue definido originalmente por ^[1] Otto Brune para describir cualquier función Z ( s ) que ^[2]

• es racional (el cociente de dos polinomios ),
• es real cuando s es real
• tiene parte real positiva cuando s tiene una parte real positiva

Muchos autores se adhieren estrictamente a esta definición al exigir explícitamente la racionalidad, ^[3] o al restringir la atención a las funciones racionales, al menos en primera instancia. ^[4] Sin embargo, Cauer había considerado anteriormente una condición similar más general, no restringida a las funciones racionales, ^[1] y algunos autores atribuyen el término positivo-real a este tipo de condición, mientras que otros la consideran una generalización de la definición básica. ^[4]

Historia

La condición fue propuesta por primera vez por Wilhelm Cauer (1926) ^[5], quien determinó que era una condición necesaria. Otto Brune (1931) ^{[2] [6]} acuñó el término positivo-real para la condición y demostró que era necesaria y suficiente para la realizabilidad.

Propiedades

• La suma de dos funciones PR es PR.
• La composición de dos funciones PR es PR. En particular, si Z ( s ) es PR, entonces también lo son 1/ Z ( s ) y Z (1/ s ).
• Todos los ceros y polos de una función PR están en el semiplano izquierdo o en su límite del eje imaginario.
• Todos los polos y ceros en el eje imaginario son simples (tienen una multiplicidad de uno).
• Cualquier polo en el eje imaginario tiene residuos reales estrictamente positivos y, de manera similar, en cualquier cero en el eje imaginario, la función tiene una derivada real estrictamente positiva.
• Sobre el semiplano derecho, el valor mínimo de la parte real de una función PR ocurre en el eje imaginario (porque la parte real de una función analítica constituye una función armónica sobre el plano y, por lo tanto, satisface el principio de máximo ).
• Para una función PR racional , el número de polos y el número de ceros difieren como máximo en uno.

Generalizaciones

A veces se hacen un par de generalizaciones, con la intención de caracterizar las funciones de inmitancia de una clase más amplia de redes eléctricas lineales pasivas.

Funciones irracionales

La impedancia Z ( s ) de una red que consta de un número infinito de componentes (como una escalera semi-infinita ), no necesita ser una función racional de s , y en particular puede tener puntos de ramificación en el semiplano izquierdo s . Para acomodar tales funciones en la definición de PR, es necesario, por lo tanto, relajar la condición de que la función sea real para todos los s reales , y solo exigir esto cuando s sea positivo. Por lo tanto, una función posiblemente irracional Z ( s ) es PR si y solo si

• Z ( s ) es analítico en el semiplano s abierto derecho (Re[ s ] > 0)
• Z ( s ) es real cuando s es positivo y real
• Re[ Z ( s )] ≥ 0 cuando Re[ s ] ≥ 0

Algunos autores parten de esta definición más general y luego la particularizan al caso racional.

Funciones con valores matriciales

Las redes eléctricas lineales con más de un puerto pueden describirse mediante matrices de impedancia o admitancia . Por lo tanto, al extender la definición de PR a funciones con valores matriciales, las redes lineales con múltiples puertos que son pasivas pueden distinguirse de las que no lo son. Una función con valores matriciales posiblemente irracional Z ( s ) es PR si y solo si

• Cada elemento de Z ( s ) es analítico en el semiplano derecho abierto s (Re[ s ] > 0)
• Cada elemento de Z ( s ) es real cuando s es positivo y real
• La parte hermítica ( Z ( s ) + Z ^† ( s ))/2 de Z ( s ) es semidefinida positiva cuando Re[ s ] ≥ 0

Referencias

1. E. Cauer, W. Mathis y R. Pauli, "Vida y obra de Wilhelm Cauer (1900 – 1945)", Actas del Decimocuarto Simposio Internacional de Teoría Matemática de Redes y Sistemas (MTNS2000) , Perpignan, junio de 2000. Recuperado en línea el 19 de septiembre de 2008.
2. Brune, O, "Síntesis de una red finita de dos terminales cuya impedancia del punto de excitación es una función prescrita de la frecuencia", Tesis doctoral, MIT, 1931. Recuperado en línea el 3 de junio de 2010.
3. Bakshi, Uday; Bakshi, Ajay (2008). Teoría de redes . Pune: Publicaciones técnicas. ISBN 978-81-8431-402-1.
4. Wing, Omar (2008). Teoría clásica de circuitos . Springer. ISBN 978-0-387-09739-8.
5. Cauer, W, "Die Verwirklichung der Wechselstromwiderst ände vorgeschriebener Frequenzabh ängigkeit", Archiv für Elektrotechnik , vol 17 , págs. 355–388, 1926.
6. Brune, O, "Síntesis de una red finita de dos terminales cuya impedancia del punto de excitación es una función prescrita de la frecuencia", J. Math. and Phys. , vol 10 , pp191–236, 1931.

• Wilhelm Cauer (1932) La integral de Poisson para funciones con parte real positiva, Boletín de la Sociedad Matemática Americana 38:713–7, enlace desde Proyecto Euclides .
• W. Cauer (1932) "Über Funktionen mit positivm Realteil", Mathematische Annalen 106: 369–94.