Forma positiva

En geometría compleja , el término forma positiva se refiere a varias clases de formas diferenciales reales de tipo Hodge (p, p) .

(1,1) -formas

Las formas reales ( p , p ) en una variedad compleja M son formas que son de tipo ( p , p ) y reales, es decir, se encuentran en la intersección. Una forma real (1,1) se llama semipositiva ^{[1 ]} (a veces simplemente positivo ^[2] ), respectivamente, positivo ^[3] (o positivo definido ^[4] ) si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle \Lambda ^{p,p}(M)\cap \Lambda ^{2p}(M,{\mathbb {R} }).}$ ${\displaystyle \omega }$

1. ${\displaystyle -\omega }$es la parte imaginaria de una forma hermitiana positiva semidefinida (respectivamente, definida positiva) .
2. Para algunas bases en el espacio de las formas (1,0), se puede escribir en diagonal, como real y no negativo (respectivamente, positivo). ${\displaystyle dz_{1},...dz_{n}}$ ${\displaystyle \Lambda ^{1,0}M}$ ${\displaystyle {\sqrt {-1}}\omega }$ ${\displaystyle {\sqrt {-1}}\omega =\sum _{i}\alpha _{i}dz_{i}\wedge d{\bar {z}}_{i},}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$
3. Para cualquier vector tangente (1,0) , (respectivamente, ). ${\displaystyle v\in T^{1,0}M}$ ${\displaystyle -{\sqrt {-1}}\omega (v,{\bar {v}})\geq 0}$ ${\displaystyle >0}$
4. Para cualquier vector tangente real , (respectivamente, ), donde está el operador de estructura compleja . ${\displaystyle v\in TM}$ ${\displaystyle \omega (v,I(v))\geq 0}$ ${\displaystyle >0}$ ${\displaystyle I:\;TM\mapsto TM}$

Paquetes de líneas positivas

En geometría algebraica, las formas positivas definidas (1,1) surgen como formas de curvatura de haces de líneas amplias (también conocidos como haces de líneas positivas ). Sea L un paquete de líneas hermitiano holomórfico en una variedad compleja,

${\displaystyle {\bar {\partial }}:\;L\mapsto L\otimes \Lambda ^{0,1}(M)}$

su operador de estructura compleja. Entonces L está equipado con una conexión única que preserva la estructura hermitiana y satisface

${\displaystyle \nabla ^{0,1}={\bar {\partial }}}$.

Esta conexión se llama conexión Chern .

La curvatura de la conexión de Chern es siempre una forma (1,1) puramente imaginaria. Un paquete de líneas L se llama positivo si es una forma positiva (1,1). (Tenga en cuenta que la clase de cohomología de De Rham es multiplicada por la primera clase de Chern de L .) El teorema de incrustación de Kodaira afirma que un paquete de líneas positivo es amplio y, a la inversa, cualquier paquete de líneas amplio admite una métrica hermitiana con positivo. ${\displaystyle \Theta }$ ${\displaystyle {\sqrt {-1}}\Theta }$ ${\displaystyle {\sqrt {-1}}\Theta }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle {\sqrt {-1}}\Theta }$

Positividad para las formas (p, p)

Las formas semipositivas (1,1) en M forman un cono convexo . Cuando M es una superficie compleja compacta , este cono es autodual , con respecto al par de Poincaré: ${\displaystyle dim_{\mathbb {C} }M=2}$ ${\displaystyle \eta ,\zeta \mapsto \int _{M}\eta \wedge \zeta }$

Para las formas (p, p) , donde , existen dos nociones diferentes de positividad. ^[5] Una forma se llama fuertemente positiva si es una combinación lineal de productos de formas semipositivas, con coeficientes reales positivos. Una forma real (p, p) en una variedad compleja M de n dimensiones se llama débilmente positiva si para todas las formas (np, np) fuertemente positivas ζ con soporte compacto, tenemos . ${\displaystyle 2\leq p\leq dim_{\mathbb {C} }M-2}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \int _{M}\eta \wedge \zeta \geq 0}$

Las formas débilmente positivas y fuertemente positivas forman conos convexos. En colectores compactos estos conos son duales con respecto al par Poincaré.

Notas

1. Huybrechts (2005)
2. Demailly (1994)
3. Huybrechts (2005)
4. Demailly (1994)
5. Demailly (1994)

Referencias

• P. Griffiths y J. Harris (1978), Principios de geometría algebraica , Wiley. ISBN  0-471-32792-1
• Griffiths, Phillip (3 de enero de 2020). "Teoremas de positividad y desaparición". hdl : 20.500.12111/7881.
• J.-P. Demailly , Teoremas de desaparición de L2 para haces de líneas positivas y teoría de la adjunción, notas de clase de un curso del CIME sobre "Métodos trascendentales de geometría algebraica" (Cetraro, Italia, julio de 1994) .
• Huybrechts, Daniel (2005), Geometría compleja: una introducción , Springer , ISBN 3-540-21290-6, señor  2093043
• Voisin, Claire (2007) [2002], Teoría de Hodge y geometría algebraica compleja (2 vols.) , Cambridge University Press , doi :10.1017/CBO9780511615344, ISBN 978-0-521-71801-1, señor  1967689