polinomios de bateman

En matemáticas, los polinomios de Bateman son una familia F _n de polinomios ortogonales introducida por Bateman  (1933). Los polinomios de Bateman-Pasternack son una generalización introducida por Pasternack (1939).

Los polinomios de Bateman se pueden definir mediante la relación

${\displaystyle F_{n}\left({\frac {d}{dx}}\right)\operatorname {sech} (x)=\operatorname {sech} (x)P_{n}(\tanh(x)).}$

donde P _n es un polinomio de Legendre . En términos de funciones hipergeométricas generalizadas , están dadas por

${\displaystyle F_{n}(x)={}_{3}F_{2}\left({\begin{array}{c}-n,~n+1,~{\tfrac {1}{2}}(x+1)\\1,~1\end{array}};1\right).}$

Pasternack (1939) generalizó los polinomios de Bateman a polinomios F^mn
_​con

${\displaystyle F_{n}^{m}\left({\frac {d}{dx}}\right)\operatorname {sech} ^{m+1}(x)=\operatorname {sech} ^{m+1}(x)P_{n}(\tanh(x))}$

Estos polinomios generalizados también tienen una representación en términos de funciones hipergeométricas generalizadas, a saber

${\displaystyle F_{n}^{m}(x)={}_{3}F_{2}\left({\begin{array}{c}-n,~n+1,~{\tfrac {1}{2}}(x+m+1)\\1,~m+1\end{array}};1\right).}$

Carlitz (1957) demostró que los polinomios Q _n estudiados por Touchard (1956), ver polinomios de Touchard , son los mismos que los polinomios de Bateman hasta un cambio de variable: más precisamente

${\displaystyle Q_{n}(x)=(-1)^{n}2^{n}n!{\binom {2n}{n}}^{-1}F_{n}(2x+1)}$

Los polinomios de Bateman y Pasternack son casos especiales de los polinomios continuos simétricos de Hahn .

Ejemplos

Los polinomios de n pequeño se leen

${\displaystyle F_{0}(x)=1}$;

${\displaystyle F_{1}(x)=-x}$;

${\displaystyle F_{2}(x)={\frac {1}{4}}+{\frac {3}{4}}x^{2}}$;

${\displaystyle F_{3}(x)=-{\frac {7}{12}}x-{\frac {5}{12}}x^{3}}$;

${\displaystyle F_{4}(x)={\frac {9}{64}}+{\frac {65}{96}}x^{2}+{\frac {35}{192}}x^{4}}$;

${\displaystyle F_{5}(x)=-{\frac {407}{960}}x-{\frac {49}{96}}x^{3}-{\frac {21}{320}}x^{5}}$;

Propiedades

Ortogonalidad

Los polinomios de Bateman satisfacen la relación de ortogonalidad ^{[1] [2]}

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }F_{m}(ix)F_{n}(ix)\operatorname {sech} ^{2}\left({\frac {\pi x}{2}}\right)\,dx={\frac {4(-1)^{n}}{\pi (2n+1)}}\delta _{mn}.}$

El factor aparece en el lado derecho de esta ecuación porque los polinomios de Bateman, tal como se definen aquí, deben escalarse mediante un factor para que sigan teniendo un valor real para un argumento imaginario. La relación de ortogonalidad es más simple cuando se expresa en términos de un conjunto modificado de polinomios definidos por , para lo cual se convierte en ${\displaystyle (-1)^{n}}$ ${\displaystyle i^{n}}$ ${\displaystyle B_{n}(x)=i^{n}F_{n}(ix)}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }B_{m}(x)B_{n}(x)\operatorname {sech} ^{2}\left({\frac {\pi x}{2}}\right)\,dx={\frac {4}{\pi (2n+1)}}\delta _{mn}.}$

Relación de recurrencia

La secuencia de polinomios de Bateman satisface la relación de recurrencia ^[3]

${\displaystyle (n+1)^{2}F_{n+1}(z)=-(2n+1)zF_{n}(z)+n^{2}F_{n-1}(z).}$

función generadora

Los polinomios de Bateman también tienen la función generadora.

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }t^{n}F_{n}(z)=(1-t)^{z}\,_{2}F_{1}\left({\frac {1+z}{2}},{\frac {1+z}{2}};1;t^{2}\right),}$

que a veces se utiliza para definirlos. ^[4]

Referencias

1. Koelink (1996)
2. Bateman, H. (1934), "El polinomio F norte ( x ) {\ Displaystyle F_ {n} (x)} ", Ann. Matemáticas. 35 (4): 767-775.
3. Bateman (1933), pág. 28.
4. Bateman (1933), pág. 23.

• Al-Salam, Nadhla A. (1967). "Una clase de polinomios hipergeométricos". Ana. Estera. Pura Appl . 75 (1): 95-120. doi : 10.1007/BF02416800 .
• Bateman, H. (1933), "Algunas propiedades de un determinado conjunto de polinomios", Tôhoku Mathematical Journal , 37 : 23–38, JFM  59.0364.02
• Carlitz, Leonard (1957), "Algunos polinomios de Touchard conectados con los números de Bernoulli", Canadian Journal of Mathematics , 9 : 188–190, doi : 10.4153/CJM-1957-021-9 , ISSN  0008-414X, MR  0085361
• Koelink, HT (1996), "Sobre Jacobi y los polinomios continuos de Hahn", Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense , 124 (3): 887–898, arXiv : math/9409230 , doi : 10.1090/S0002-9939-96-03190- 5 , ISSN  0002-9939, SEÑOR  1307541
• Pasternack, Simon (1939), "Una generalización del polinomio F _n (x)", Revista filosófica y revista de ciencia de Londres, Edimburgo y Dublín , 28 (187): 209–226, doi :10.1080/14786443908521175, SEÑOR  0000698
• Touchard, Jacques (1956), "Nombres exponentiels et nombres de Bernoulli", Canadian Journal of Mathematics , 8 : 305–320, doi : 10.4153/cjm-1956-034-1 , ISSN  0008-414X, MR  0079021