Polinomios de Hahn continuos

En matemáticas, los polinomios de Hahn continuos son una familia de polinomios ortogonales en el esquema de Askey de polinomios ortogonales hipergeométricos. Se definen en términos de funciones hipergeométricas generalizadas por

${\displaystyle p_{n}(x;a,b,c,d)=i^{n}{\frac {(a+c)_{n}(a+d)_{n}}{n!}}{}_{3}F_{2}\left({\begin{array}{c}-n,n+a+b+c+d-1,a+ix\\a+c,a+d\end{array}};1\right)}$

Roelof Koekoek, Peter A. Lesky y René F. Swarttouw (2010, 14) dan una lista detallada de sus propiedades.

Los polinomios estrechamente relacionados incluyen los polinomios duales de Hahn R _n ( x ; γ, δ, N ), los polinomios de Hahn Q _n ( x ; a , b , c ) y los polinomios duales continuos de Hahn S _n ( x ; a , b , c ). Todos estos polinomios tienen q -análogos con un parámetro extra q , como los q-polinomios de Hahn Q _n ( x ; α, β, N ; q ), y así sucesivamente.

Ortogonalidad

Los polinomios de Hahn continuos p _n ( x ; a , b , c , d ) son ortogonales con respecto a la función de peso

${\displaystyle w(x)=\Gamma (a+ix)\,\Gamma (b+ix)\,\Gamma (c-ix)\,\Gamma (d-ix).}$

En particular, satisfacen la relación de ortogonalidad ^{[1] [2] [3]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\Gamma (a+ix)\,\Gamma (b+ix)\,\Gamma (c-ix)\,\Gamma (d-ix)\,p_{m}(x;a,b,c,d)\,p_{n}(x;a,b,c,d)\,dx\\&\qquad \qquad ={\frac {\Gamma (n+a+c)\,\Gamma (n+a+d)\,\Gamma (n+b+c)\,\Gamma (n+b+d)}{n!(2n+a+b+c+d-1)\,\Gamma (n+a+b+c+d-1)}}\,\delta _{nm}\end{aligned}}}$

para , , , , , . ${\displaystyle \Re (a)>0}$ ${\displaystyle \Re (b)>0}$ ${\displaystyle \Re (c)>0}$ ${\displaystyle \Re (d)>0}$ ${\displaystyle c={\overline {a}}}$ ${\displaystyle d={\overline {b}}}$

Relaciones de recurrencia y diferencia

La secuencia de polinomios de Hahn continuos satisface la relación de recurrencia ^[4]

${\displaystyle xp_{n}(x)=p_{n+1}(x)+i(A_{n}+C_{n})p_{n}(x)-A_{n-1}C_{n}p_{n-1}(x),}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{where}}\quad &p_{n}(x)={\frac {n!(n+a+b+c+d-1)!}{(2n+a+b+c+d-1)!}}p_{n}(x;a,b,c,d),\\&A_{n}=-{\frac {(n+a+b+c+d-1)(n+a+c)(n+a+d)}{(2n+a+b+c+d-1)(2n+a+b+c+d)}},\\{\text{and}}\quad &C_{n}={\frac {n(n+b+c-1)(n+b+d-1)}{(2n+a+b+c+d-2)(2n+a+b+c+d-1)}}.\end{aligned}}}$

Fórmula de Rodrigues

Los polinomios de Hahn continuos se dan mediante la fórmula similar a Rodrigues ^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}&\Gamma (a+ix)\,\Gamma (b+ix)\,\Gamma (c-ix)\,\Gamma (d-ix)\,p_{n}(x;a,b,c,d)\\&\qquad ={\frac {(-1)^{n}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(\Gamma \left(a+{\frac {n}{2}}+ix\right)\,\Gamma \left(b+{\frac {n}{2}}+ix\right)\,\Gamma \left(c+{\frac {n}{2}}-ix\right)\,\Gamma \left(d+{\frac {n}{2}}-ix\right)\right).\end{aligned}}}$

Funciones generadoras

Los polinomios de Hahn continuos tienen la siguiente función generadora: ^[6]

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (n+a+b+c+d)\,\Gamma (a+c+1)\,\Gamma (a+d+1)}{\Gamma (a+b+c+d)\,\Gamma (n+a+c+1)\,\Gamma (n+a+d+1)}}(-it)^{n}p_{n}(x;a,b,c,d)\\&\qquad =(1-t)^{1-a-b-c-d}{}_{3}F_{2}\left({\begin{array}{c}{\frac {1}{2}}(a+b+c+d-1),{\frac {1}{2}}(a+b+c+d),a+ix\\a+c,a+d\end{array}};-{\frac {4t}{(1-t)^{2}}}\right).\end{aligned}}}$

Una segunda función generadora distinta viene dada por

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (a+c+1)\,\Gamma (b+d+1)}{\Gamma (n+a+c+1)\,\Gamma (n+b+d+1)}}t^{n}p_{n}(x;a,b,c,d)=\,_{1}F_{1}\left({\begin{array}{c}a+ix\\a+c\end{array}};-it\right)\,_{1}F_{1}\left({\begin{array}{c}d-ix\\b+d\end{array}};it\right).}$

Relación con otros polinomios

• Los polinomios de Wilson son una generalización de los polinomios continuos de Hahn.
• Los polinomios de Bateman F _n (x) están relacionados con el caso especial a = b = c = d =1/2 de los polinomios continuos de Hahn por

${\displaystyle p_{n}\left(x;{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}\right)=i^{n}n!F_{n}\left(2ix\right).}$

• Los polinomios de Jacobi P _n ^(α,β) (x) se pueden obtener como un caso límite de los polinomios de Hahn continuos: ^[7]

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}=\lim _{t\to \infty }t^{-n}p_{n}\left({\tfrac {1}{2}}xt;{\tfrac {1}{2}}(\alpha +1-it),{\tfrac {1}{2}}(\beta +1+it),{\tfrac {1}{2}}(\alpha +1+it),{\tfrac {1}{2}}(\beta +1-it)\right).}$

Referencias

1. Koekoek, Lesky y Swarttouw (2010), pág. 200.
2. Askey, R. (1985), "Polinomios de Hahn continuos", J. Phys. A: Math. Gen. 18 : págs. L1017-L1019.
3. Andrews, Askey y Roy (1999), pág. 333.
4. Koekoek, Lesky y Swarttouw (2010), pág. 201.
5. Koekoek, Lesky y Swarttouw (2010), pág. 202.
6. Koekoek, Lesky y Swarttouw (2010), pág. 202.
7. Koekoek, Lesky y Swarttouw (2010), pág. 203.

• Hahn, Wolfgang (1949), "Über Orthogonalpolynome, die q-Differenzengleichungen genügen", Mathematische Nachrichten , 2 : 4–34, doi :10.1002/mana.19490020103, ISSN  0025-584X, SEÑOR  0030647
• Koekoek, Roelof; Lesky, Peter A.; Swarttouw, René F. (2010), Polinomios ortogonales hipergeométricos y sus q-análogos , Springer Monographs in Mathematics, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-3-642-05014-5, ISBN 978-3-642-05013-8, Sr.  2656096
• Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick SC; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), "Clase Hahn: Definiciones", en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), Manual de funciones matemáticas del NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, Sr.  2723248.
• Andrews, George E.; Askey, Richard; Roy, Ranjan (1999), Funciones especiales , Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones 71, Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-62321-6