Polinomios de Bateman

En matemáticas, los polinomios de Bateman son una familia F _n de polinomios ortogonales introducidos por Bateman  (1933). Los polinomios de Bateman-Pasternack son una generalización introducida por Pasternack (1939).

Los polinomios de Bateman se pueden definir mediante la relación

${\displaystyle F_{n}\left({\frac {d}{dx}}\right)\operatorname {sech} (x)=\operatorname {sech} (x)P_{n}(\tanh(x)).}$

donde P _n es un polinomio de Legendre . En términos de funciones hipergeométricas generalizadas , se dan por

${\displaystyle F_{n}(x)={}_{3}F_{2}\left({\begin{array}{c}-n,~n+1,~{\tfrac {1}{2}}(x+1)\\1,~1\end{array}};1\right).}$

Pasternack (1939) generalizó los polinomios de Bateman a polinomios F^m
_-ncon

${\displaystyle F_{n}^{m}\left({\frac {d}{dx}}\right)\operatorname {sech} ^{m+1}(x)=\operatorname {sech} ^{m+1}(x)P_{n}(\tanh(x))}$

Estos polinomios generalizados también tienen una representación en términos de funciones hipergeométricas generalizadas, a saber:

${\displaystyle F_{n}^{m}(x)={}_{3}F_{2}\left({\begin{array}{c}-n,~n+1,~{\tfrac {1}{2}}(x+m+1)\\1,~m+1\end{array}};1\right).}$

Carlitz (1957) demostró que los polinomios Q _n estudiados por Touchard (1956), ver Polinomios de Touchard , son los mismos que los polinomios de Bateman hasta un cambio de variable: más precisamente

${\displaystyle Q_{n}(x)=(-1)^{n}2^{n}n!{\binom {2n}{n}}^{-1}F_{n}(2x+1)}$

Los polinomios de Bateman y Pasternack son casos especiales de los polinomios de Hahn continuos simétricos .

Ejemplos

Los polinomios de n pequeño se leen

${\displaystyle F_{0}(x)=1}$;

${\displaystyle F_{1}(x)=-x}$;

${\displaystyle F_{2}(x)={\frac {1}{4}}+{\frac {3}{4}}x^{2}}$;

${\displaystyle F_{3}(x)=-{\frac {7}{12}}x-{\frac {5}{12}}x^{3}}$;

${\displaystyle F_{4}(x)={\frac {9}{64}}+{\frac {65}{96}}x^{2}+{\frac {35}{192}}x^{4}}$;

${\displaystyle F_{5}(x)=-{\frac {407}{960}}x-{\frac {49}{96}}x^{3}-{\frac {21}{320}}x^{5}}$;

Propiedades

Ortogonalidad

Los polinomios de Bateman satisfacen la relación de ortogonalidad ^{[1] [2]}

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }F_{m}(ix)F_{n}(ix)\operatorname {sech} ^{2}\left({\frac {\pi x}{2}}\right)\,dx={\frac {4(-1)^{n}}{\pi (2n+1)}}\delta _{mn}.}$

El factor aparece en el lado derecho de esta ecuación porque los polinomios de Bateman definidos aquí deben escalarse mediante un factor para que sigan teniendo valores reales para un argumento imaginario. La relación de ortogonalidad es más simple cuando se expresa en términos de un conjunto modificado de polinomios definidos por , para lo cual se convierte en ${\displaystyle (-1)^{n}}$ ${\displaystyle i^{n}}$ ${\displaystyle B_{n}(x)=i^{n}F_{n}(ix)}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }B_{m}(x)B_{n}(x)\operatorname {sech} ^{2}\left({\frac {\pi x}{2}}\right)\,dx={\frac {4}{\pi (2n+1)}}\delta _{mn}.}$

Relación de recurrencia

La secuencia de polinomios de Bateman satisface la relación de recurrencia ^[3]

${\displaystyle (n+1)^{2}F_{n+1}(z)=-(2n+1)zF_{n}(z)+n^{2}F_{n-1}(z).}$

Función generadora

Los polinomios de Bateman también tienen la función generadora

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }t^{n}F_{n}(z)=(1-t)^{z}\,_{2}F_{1}\left({\frac {1+z}{2}},{\frac {1+z}{2}};1;t^{2}\right),}$

que a veces se utiliza para definirlos. ^[4]

Referencias

1. Koelink (1996)
2. Bateman, H. (1934), "El polinomio F n ( x ) {\displaystyle F_{n}(x)}", Ann. Math. 35 (4): 767-775.
3. Bateman (1933), pág. 28.
4. Bateman (1933), pág. 23.

• Al-Salam, Nadhla A. (1967). "Una clase de polinomios hipergeométricos". Ann. Mat. Pura Appl . 75 (1): 95–120. doi : 10.1007/BF02416800 .
• Bateman, H. (1933), "Algunas propiedades de un cierto conjunto de polinomios"., Tôhoku Mathematical Journal , 37 : 23–38, JFM  59.0364.02
• Carlitz, Leonard (1957), "Algunos polinomios de Touchard relacionados con los números de Bernoulli", Revista canadiense de matemáticas , 9 : 188-190, doi : 10.4153/CJM-1957-021-9 , ISSN  0008-414X, MR  0085361
• Koelink, HT (1996), "Sobre los polinomios de Jacobi y de Hahn continuos", Actas de la American Mathematical Society , 124 (3): 887–898, arXiv : math/9409230 , doi : 10.1090/S0002-9939-96-03190-5 , ISSN  0002-9939, MR  1307541
• Pasternack, Simon (1939), "Una generalización del polinomio F _n (x)", Londres, Edimburgo y Dublín Philosophical Magazine and Journal of Science , 28 (187): 209–226, doi :10.1080/14786443908521175, MR  0000698
• Touchard, Jacques (1956), "Nombres exponentiels et nombres de Bernoulli", Canadian Journal of Mathematics , 8 : 305–320, doi : 10.4153/cjm-1956-034-1 , ISSN  0008-414X, MR  0079021