Polinomio de Dickson

En matemáticas , los polinomios de Dickson , denominados D _n ( x , α ) , forman una secuencia polinómica introducida por L.E. Dickson  (1897). Fueron redescubiertos por Brewer (1961) en su estudio de las sumas de Brewer y, en ocasiones, aunque raramente, se los ha denominado polinomios de Brewer .

Sobre los números complejos, los polinomios de Dickson son esencialmente equivalentes a los polinomios de Chebyshev con un cambio de variable y, de hecho, a veces los polinomios de Dickson se denominan polinomios de Chebyshev.

Los polinomios de Dickson se estudian generalmente sobre cuerpos finitos , donde a veces pueden no ser equivalentes a los polinomios de Chebyshev. Una de las principales razones de su interés es que, para α fijo , proporcionan muchos ejemplos de polinomios de permutación ; polinomios que actúan como permutaciones de cuerpos finitos.

Definición

Primer tipo

Para un entero n > 0 y α en un anillo conmutativo R con identidad (a menudo elegida como el cuerpo finito F _q = GF( q ) ) los polinomios de Dickson (del primer tipo) sobre R se dan por ^[1]

${\displaystyle D_{n}(x,\alpha )=\sum _{i=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {n}{n-i}}{\binom {n-i}{i}}(-\alpha )^{i}x^{n-2i}\,.}$

Los primeros polinomios de Dickson son

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{1}(x,\alpha )&=x\\D_{2}(x,\alpha )&=x^{2}-2\alpha \\D_{3}(x,\alpha )&=x^{3}-3x\alpha \\D_{4}(x,\alpha )&=x^{4}-4x^{2}\alpha +2\alpha ^{2}\\D_{5}(x,\alpha )&=x^{5}-5x^{3}\alpha +5x\alpha ^{2}\,.\end{aligned}}}$

También pueden generarse por la relación de recurrencia para n ≥ 2 ,

${\displaystyle D_{n}(x,\alpha )=xD_{n-1}(x,\alpha )-\alpha D_{n-2}(x,\alpha )\,,}$

con las condiciones iniciales D ₀ ( x , α ) = 2 y D ₁ ( x , α ) = x .

Los coeficientes se dan en varios lugares de la OEIS ^{[2] [3] [4] [5]} con diferencias mínimas para los dos primeros términos.

Segundo tipo

Los polinomios de Dickson de segundo tipo, E _n ( x , α ) , se definen por

${\displaystyle E_{n}(x,\alpha )=\sum _{i=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\binom {n-i}{i}}(-\alpha )^{i}x^{n-2i}.}$

No se han estudiado mucho y tienen propiedades similares a las de los polinomios de Dickson del primer tipo. Los primeros polinomios de Dickson del segundo tipo son

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{0}(x,\alpha )&=1\\E_{1}(x,\alpha )&=x\\E_{2}(x,\alpha )&=x^{2}-\alpha \\E_{3}(x,\alpha )&=x^{3}-2x\alpha \\E_{4}(x,\alpha )&=x^{4}-3x^{2}\alpha +\alpha ^{2}\,.\end{aligned}}}$

También pueden generarse por la relación de recurrencia para n ≥ 2 ,

${\displaystyle E_{n}(x,\alpha )=xE_{n-1}(x,\alpha )-\alpha E_{n-2}(x,\alpha )\,,}$

con las condiciones iniciales E ₀ ( x , α ) = 1 y E ₁ ( x , α ) = x .

Los coeficientes también se dan en la OEIS. ^{[6] [7]}

Propiedades

Los D _n son los únicos polinomios mónicos que satisfacen la ecuación funcional

${\displaystyle D_{n}\left(u+{\frac {\alpha }{u}},\alpha \right)=u^{n}+\left({\frac {\alpha }{u}}\right)^{n},}$

donde α ∈ F _q y u ≠ 0 ∈ F _{q ²} . ^[8]

También satisfacen una regla de composición, ^[8]

${\displaystyle D_{mn}(x,\alpha )=D_{m}{\bigl (}D_{n}(x,\alpha ),\alpha ^{n}{\bigr )}\,=D_{n}{\bigl (}D_{m}(x,\alpha ),\alpha ^{m}{\bigr )}\,.}$

Las E _n también satisfacen una ecuación funcional ^[8]

${\displaystyle E_{n}\left(y+{\frac {\alpha }{y}},\alpha \right)={\frac {y^{n+1}-\left({\frac {\alpha }{y}}\right)^{n+1}}{y-{\frac {\alpha }{y}}}}\,,}$

para y ≠ 0 , y ² ≠ α , con α ∈ F _q y y ∈ F _{q ²} .

El polinomio de Dickson y = D _n es una solución de la ecuación diferencial ordinaria

${\displaystyle \left(x^{2}-4\alpha \right)y''+xy'-n^{2}y=0\,,}$

y el polinomio de Dickson y = E _n es una solución de la ecuación diferencial

${\displaystyle \left(x^{2}-4\alpha \right)y''+3xy'-n(n+2)y=0\,.}$

Sus funciones generadoras ordinarias son

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n}D_{n}(x,\alpha )z^{n}&={\frac {2-xz}{1-xz+\alpha z^{2}}}\\\sum _{n}E_{n}(x,\alpha )z^{n}&={\frac {1}{1-xz+\alpha z^{2}}}\,.\end{aligned}}}$

Enlaces a otros polinomios

Por la relación de recurrencia anterior, los polinomios de Dickson son secuencias de Lucas . Específicamente, para α = −1 , los polinomios de Dickson del primer tipo son polinomios de Fibonacci , y los polinomios de Dickson del segundo tipo son polinomios de Lucas .

Según la regla de composición anterior, cuando α es idempotente , la composición de los polinomios de Dickson del primer tipo es conmutativa.

• Los polinomios de Dickson con parámetro α = 0 dan monomios .

${\displaystyle D_{n}(x,0)=x^{n}\,.}$

• Los polinomios de Dickson con parámetro α = 1 están relacionados con los polinomios de Chebyshev T _n ( x ) = cos ( n arccos x ) del primer tipo por ^[1]

${\displaystyle D_{n}(2x,1)=2T_{n}(x)\,.}$

• Dado que el polinomio de Dickson D _n ( x , α ) puede definirse sobre anillos con idempotentes adicionales, D _n ( x , α ) a menudo no está relacionado con un polinomio de Chebyshev.

Polinomios de permutación y polinomios de Dickson

Un polinomio de permutación (para un campo finito dado) es aquel que actúa como una permutación de los elementos del campo finito.

El polinomio de Dickson D _n ( x , α) (considerado como una función de x con α fijo) es un polinomio de permutación para el campo con q elementos si y solo si n es coprimo con q ² − 1 . ^[9]

Fried (1970) demostró que cualquier polinomio integral que sea un polinomio de permutación para un número infinito de cuerpos primos es una composición de polinomios de Dickson y polinomios lineales (con coeficientes racionales). Esta afirmación se conoce como la conjetura de Schur, aunque en realidad Schur no formuló esta conjetura. Como el artículo de Fried contenía numerosos errores, Turnwald (1995) dio una explicación corregida y, posteriormente, Müller (1997) dio una prueba más sencilla en la línea de un argumento de Schur.

Además, Müller (1997) demostró que cualquier polinomio de permutación sobre el cuerpo finito F _q cuyo grado sea simultáneamente coprimo con q y menor que q ^⁠1/4⁠ debe ser una composición de polinomios de Dickson y polinomios lineales.

Generalización

Los polinomios de Dickson de ambos tipos sobre cuerpos finitos pueden considerarse como miembros iniciales de una secuencia de polinomios de Dickson generalizados denominados polinomios de Dickson del tipo ( k + 1) ésimo. ^[10] Específicamente, para α ≠ 0 ∈ F _q con q = p ^e para algún primo p y cualesquiera enteros n ≥ 0 y 0 ≤ k < p , el n º polinomio de Dickson del tipo ( k + 1) ésimo sobre F _q , denotado por D _{n , k} ( x , α ) , se define por ^[11]

${\displaystyle D_{0,k}(x,\alpha )=2-k}$

y

${\displaystyle D_{n,k}(x,\alpha )=\sum _{i=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {n-ki}{n-i}}{\binom {n-i}{i}}(-\alpha )^{i}x^{n-2i}\,.}$

D _{n ,0} ( x , α ) = D _n ( x , α ) y D _{n ,1} ( x , α ) = E _n ( x , α ) , mostrando que esta definición unifica y generaliza los polinomios originales de Dickson.

Las propiedades significativas de los polinomios de Dickson también se generalizan: ^[12]

• Relación de recurrencia : Para n ≥ 2 ,

${\displaystyle D_{n,k}(x,\alpha )=xD_{n-1,k}(x,\alpha )-\alpha D_{n-2,k}(x,\alpha )\,,}$

con las condiciones iniciales D _{0, k} ( x , α ) = 2 − k y D _{1, k} ( x , α ) = x .

• Ecuación funcional :

${\displaystyle D_{n,k}\left(y+\alpha y^{-1},\alpha \right)={\frac {y^{2n}+k\alpha y^{2n-2}+\cdots +k\alpha ^{n-1}y^{2}+\alpha ^{n}}{y^{n}}}={\frac {y^{2n}+{\alpha }^{n}}{y^{n}}}+\left({\frac {k\alpha }{y^{n}}}\right){\frac {y^{2n}-{\alpha }^{n-1}y^{2}}{y^{2}-\alpha }}\,,}$

donde y ≠ 0 , y ² ≠ α .

• Función generadora :

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }D_{n,k}(x,\alpha )z^{n}={\frac {2-k+(k-1)xz}{1-xz+\alpha z^{2}}}\,.}$

Notas

1. Lidl y Niederreiter 1983, pág. 355
2. ver OEIS A132460
3. ver OEIS A213234
4. ver OEIS A113279
5. ver OEIS A034807, esta sin signos pero con muchas referencias
6. ver OEIS A115139
7. ver OEIS A011973, esta vez nuevamente sin signos pero con muchas referencias
8. Mullen y Panario 2013, pág. 283
9. Lidl y Niederreiter 1983, pág. 356
10. Wang, Q.; Yucas, JL (2012), "Polinomios de Dickson sobre cuerpos finitos", Campos finitos y sus aplicaciones , 18 (4): 814–831, doi : 10.1016/j.ffa.2012.02.001
11. Mullen y Panario 2013, pag. 287
12. Mullen y Panario 2013, pag. 288

Referencias

• Brewer, BW (1961), "Sobre ciertas sumas de caracteres", Transactions of the American Mathematical Society , 99 (2): 241–245, doi : 10.2307/1993392 , ISSN  0002-9947, JSTOR  1993392, MR  0120202, Zbl  0103.03205
• Dickson, LE (1897). "La representación analítica de sustituciones en una potencia de un número primo de letras con una discusión del grupo lineal I, II". Ann. of Math . 11 (1/6). Anales de Matemáticas: 65–120, 161–183. doi :10.2307/1967217. hdl : 2027/uiuo.ark:/13960/t4zh9cw1v . ISSN  0003-486X. JFM  28.0135.03. JSTOR  1967217.
• Fried, Michael (1970). "Sobre una conjetura de Schur". Michigan Math. J. 17 : 41–55. doi : 10.1307/mmj/1029000374 . ISSN  0026-2285. MR  0257033. Zbl  0169.37702.
• Lidl, R.; Mullen, GL; Turnwald, G. (1993). Polinomios de Dickson . Pitman Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics. Vol. 65. Longman Scientific & Technical, Harlow; coeditado en los Estados Unidos con John Wiley & Sons, Inc., Nueva York. ISBN 978-0-582-09119-1.MR  1237403.Zbl 0823.11070  .​
• Lidl, Rudolf; Niederreiter, Harald (1983). Campos finitos . Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones. Vol. 20 (1.ª ed.). Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-13519-0.Zbl 0866.11069  .
• Mullen, Gary L. (2001) [1994], "Polinomios de Dickson", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Mullen, Gary L.; Panario, Daniel (2013), Manual de campos finitos , CRC Press, ISBN 978-1-4398-7378-6
• Müller, Peter (1997). "Una prueba libre de la conjetura de Schur mediante acotación de Weil". Campos finitos y sus aplicaciones . 3 : 25–32. doi : 10.1006/ffta.1996.0170 . Zbl  0904.11040.
• Rassias, Thermistocles M.; Srivastava, HM; Yanushauskas, A. (1991). Temas de polinomios de una y varias variables y sus aplicaciones: un legado de PlChebyshev . World Scientific. págs. 371–395. ISBN 978-981-02-0614-7.
• Turnwald, Gerhard (1995). "Sobre la conjetura de Schur". J. Austral. Math. Soc. Ser. A . 58 (3): 312–357. doi : 10.1017/S1446788700038349 . MR  1329867. Zbl  0834.11052.
• Young, Paul Thomas (2002). "Sobre polinomios de Dickson modificados" (PDF) . Fibonacci Quarterly . 40 (1): 33–40.
• Bayad, Abdelmejid; Cangul, Ismail Naci (2012). "El polinomio mínimo 2 cos(pi/q) y los polinomios de Dickson". Appl. Math. Comp . 218 : 7014–7022. doi :10.1016/j.amc.2011.12.044.