Polinomio cuasi-homogéneo

En álgebra , un polinomio multivariado

${\displaystyle f(x)=\sum _{\alpha }a_{\alpha }x^{\alpha }{\text{, where }}\alpha =(i_{1},\dots ,i_{r})\in \mathbb {N} ^{r}{\text{, and }}x^{\alpha }=x_{1}^{i_{1}}\cdots x_{r}^{i_{r}},}$

es cuasi homogéneo u homogéneo ponderado , si existen r enteros , llamados pesos de las variables, tales que la suma es la misma para todos los términos no nulos de f . Esta suma w es el peso o grado del polinomio. ${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{r}}$ ${\displaystyle w=w_{1}i_{1}+\cdots +w_{r}i_{r}}$

El término cuasi-homogéneo proviene del hecho de que un polinomio f es cuasi-homogéneo si y solo si

${\displaystyle f(\lambda ^{w_{1}}x_{1},\ldots ,\lambda ^{w_{r}}x_{r})=\lambda ^{w}f(x_{1},\ldots ,x_{r})}$

para cada en cualquier campo que contenga los coeficientes. ${\displaystyle \lambda }$

Un polinomio es cuasi-homogéneo con pesos si y sólo si ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{r}}$

${\displaystyle f(y_{1}^{w_{1}},\ldots ,y_{n}^{w_{n}})}$

es un polinomio homogéneo en el . En particular, un polinomio homogéneo es siempre cuasi-homogéneo, con todos los pesos iguales a 1. ${\displaystyle y_{i}}$

Un polinomio es cuasi homogéneo si y solo si todos los pertenecen al mismo hiperplano afín . Como el politopo de Newton del polinomio es la envoltura convexa del conjunto, los polinomios cuasi homogéneos también pueden definirse como los polinomios que tienen un politopo de Newton degenerado (aquí "degenerado" significa "contenido en algún hiperplano afín"). ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \{\alpha \mid a_{\alpha }\neq 0\},}$

Introducción

Consideremos el polinomio , que no es homogéneo. Sin embargo, si en lugar de considerarlo usamos el par para probar la homogeneidad, entonces ${\displaystyle f(x,y)=5x^{3}y^{3}+xy^{9}-2y^{12}}$ ${\displaystyle f(\lambda x,\lambda y)}$ ${\displaystyle (\lambda ^{3},\lambda )}$

${\displaystyle f(\lambda ^{3}x,\lambda y)=5(\lambda ^{3}x)^{3}(\lambda y)^{3}+(\lambda ^{3}x)(\lambda y)^{9}-2(\lambda y)^{12}=\lambda ^{12}f(x,y).}$

Decimos que es un polinomio cuasi homogéneo de tipo (3,1) , porque sus tres pares ( i ₁ , i ₂ ) de exponentes (3,3) , (1,9) y (0,12) satisfacen la ecuación lineal . En particular, esto dice que el politopo de Newton de se encuentra en el espacio afín con ecuación dentro de . ${\displaystyle f(x,y)}$ ${\displaystyle 3i_{1}+1i_{2}=12}$ ${\displaystyle f(x,y)}$ ${\displaystyle 3x+y=12}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

La ecuación anterior es equivalente a esta nueva: . Algunos autores ^[1] prefieren utilizar esta última condición y prefieren decir que nuestro polinomio es cuasi-homogéneo de tipo . ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}x+{\tfrac {1}{12}}y=1}$ ${\displaystyle ({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{12}})}$

Como se señaló anteriormente, un polinomio homogéneo de grado d es simplemente un polinomio cuasi homogéneo de tipo (1,1) ; en este caso, todos sus pares de exponentes satisfarán la ecuación . ${\displaystyle g(x,y)}$ ${\displaystyle 1i_{1}+1i_{2}=d}$

Definición

Sea un polinomio de r variables con coeficientes en un anillo conmutativo R . Lo expresamos como una suma finita ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x=x_{1}\ldots x_{r}}$

${\displaystyle f(x)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} ^{r}}a_{\alpha }x^{\alpha },\alpha =(i_{1},\ldots ,i_{r}),a_{\alpha }\in \mathbb {R} .}$

Decimos que f es cuasi-homogéneo de tipo , , si existe alguno tal que ${\displaystyle \varphi =(\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{r})}$ ${\displaystyle \varphi _{i}\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle \langle \alpha ,\varphi \rangle =\sum _{k}^{r}i_{k}\varphi _{k}=a}$

cuando sea . ${\displaystyle a_{\alpha }\neq 0}$

Referencias

1. Steenbrink, J. (1977). "Forma de intersección para singularidades cuasi homogéneas" (PDF) . Composición Matemática . 34 (2): 211–223 Véase pág. 211. ISSN  0010-437X.