Operación de simetría tricolor del grupo de colores p3 [3] 1
La simetría policromática es una simetría de color que intercambia tres o más colores en un patrón simétrico. Es una extensión natural de la simetría dicromática . Los grupos de simetría coloreados se derivan añadiendo a las coordenadas de posición ( x e y en dos dimensiones, x , y y z en tres dimensiones) una coordenada extra, k , que toma tres o más valores posibles (colores). [1]
Un ejemplo de aplicación de la simetría policromática son los cristales de sustancias que contienen moléculas o iones en estados triplete, es decir, con un espín electrónico de magnitud 1, que a veces deberían tener estructuras en las que los espines de estos grupos tengan proyecciones de +1, 0 y -1 sobre campos magnéticos locales. Si estos tres casos están presentes con igual frecuencia en una disposición ordenada, entonces el grupo espacial magnético de dicho cristal debería ser tricolor. [2] [3]
Ejemplo
El grupo p3 tiene tres centros de rotación diferentes de orden tres (120°), pero no tiene reflexiones ni reflexiones de deslizamiento.
Hay dos formas distintas de colorear el patrón p3 con tres colores: p3 [3] 1 y p3 [3] 2, donde la cifra entre corchetes indica el número de colores y el subíndice distingue entre múltiples casos de patrones coloreados. [5]
Tomando un solo motivo en el patrón p3 [3] 1 se tiene una operación de simetría 3', consistente en una rotación de 120° y una permutación cíclica de los tres colores blanco, verde y rojo como se muestra en la animación.
Las investigaciones iniciales de Wittke y Garrido (1959) [7] y de Niggli y Wondratschek (1960) [8] identificaron la relación entre los grupos de colores de un objeto y los subgrupos del grupo de simetría geométrica del objeto . En 1961, van der Waerden y Burckhardt [9] se basaron en el trabajo anterior al demostrar que los grupos de colores se pueden definir de la siguiente manera: en un grupo de colores de un patrón (u objeto), cada una de sus operaciones de simetría geométrica s está asociada con una permutación σ de los k colores de tal manera que todos los pares ( s , σ ) forman un grupo. Senechal demostró que las permutaciones están determinadas por los subgrupos del grupo de simetría geométrica G del patrón no coloreado. [10] Cuando cada operación de simetría en G está asociada con una permutación de color única, se dice que el patrón está perfectamente coloreado. [11] [12]
La teoría de Waerden-Burckhardt define un grupo de k colores G ( H ) como determinado por un subgrupo H de índice k en el grupo de simetría G . [13] Si el subgrupo H es un subgrupo normal , entonces el grupo cociente G / H permuta todos los colores. [14]
Historia
1956 Belov y sus colaboradores publican los primeros artículos sobre grupos de simetría policromáticos, en oposición a dicromáticos . [15] [16] [17] [18] [19] [20] Vainshtein y Koptsik (1994) resumen el trabajo ruso. [21]
1957 Mackay publica la primera reseña de la obra rusa en inglés. [22] Reseñas posteriores fueron publicadas por Koptsik (1968), [23] Schwarzenberger (1984), [24] en Tilings and patterns de Grünbaum y Shephard (1987), [4] por Senechal (1990) [10] y por Thomas (2012). [25]
Las obras de arte de MC Escher de finales de la década de 1950 basadas en patrones dicromáticos y policromáticos popularizaron la simetría del color entre los científicos. [26] [27]
1961 Definición clara por parte de van der Waerden y Burckhardt de la simetría del color en términos de teoría de grupos , independientemente del número de colores o dimensiones involucradas. [9]
1971 Derivación por Loeb en Color y Simetría de configuraciones de simetría de color 2D utilizando rotocentros. [29]
1974 Publicación de Simetría en la ciencia y el arte por Shubnikov y Koptsik con una amplia cobertura de la simetría policromática. [30]
1983 Senechal examina el problema de colorear poliedros simétricamente utilizando la teoría de grupos. [13] [31] Cromwell utiliza más tarde un enfoque de conteo algorítmico (1997). [32]
1988 Washburn y Crowe aplican el análisis de simetría del color a patrones y objetos culturales. [33] Washburn y Crowe inspiraron trabajos posteriores, por ejemplo de Makovicky. [34]
1997 Lifshitz extiende la teoría de la simetría del color desde cristales periódicos a cristales cuasiperiódicos. [35]
Ambos patrones p3 de 3 colores, los patrones p3 únicos de 4, 6 y 7 colores , uno de los tres patrones p3 de 9 colores y uno de los cuatro patrones p3 de 12 colores se ilustran en la sección de Ejemplos anterior.
Referencias
^ Bradley, CJ y Cracknell, AP (2010). La teoría matemática de la simetría en sólidos: teoría de la representación para grupos puntuales y grupos espaciales , Clarendon Press, Oxford, 677–681, ISBN 9780199582587
^ Harker, D. (1981). Los grupos espaciales tridimensionales de tres colores , Acta Crystallogr., A37 , 286-292, doi :10.1107/s0567739481000697
^ Mainzer, K. (1996). Simetrías de la naturaleza: un manual para la filosofía de la naturaleza y la ciencia , de Gruyter, Berlín, 162-168, ISBN 9783110129908
^ Hann, MA y Thomas, BG (2007). Más allá del blanco y negro: una nota sobre los patrones de contracambio de tres colores , J. Textile Inst., 98 (6), 539-547, doi :10.1080/00405000701502446
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^ Wittke O. y Garrido J. (1959). Symétrie des polyèdres polychromiques , Toro. Soc. francesa de Minéral. et de Crist., 82 (7-9), 223-230; doi :10.3406/bulmi.1959.5332
^ Niggli, A. y Wondratschek, H. (1960). Eine Verallgemeinerung der Punktgruppen. I. Die einfachen Kryptosymmetrien , Z. Krist., 114 (1-6), 215-231 doi :10.1524/zkri.1960.114.16.215
^ ab van der Waerden, BL y Burkhardt, JJ (1961). Farbgruppen , Z. Krist, 115 , 231-234, doi :10.1524/zkri.1961.115.3-4.231
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^ Senechal, M. (1988). Simetría del color , Comput. Math. Applic., 16 (5-8), 545-553, doi :10.1016/0898-1221(88)90244-1
^ Senechal, M. (1990). Simetrías cristalinas: una introducción matemática informal , Adam Hilger, Bristol, 74-87, ISBN 9780750300414
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^ Belov, NV (1956). Patrones moriscos de la Edad Media y los grupos de simetría , Sov. Phys. Cryst., 1 , 482-483
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^ Mackay, AL (1957). Extensiones de la teoría de grupos espaciales , Acta Crystallogr. 10 , 543-548, doi :10.1107/s0365110x57001966
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^ Thomas, BG (2012). Simetría del color: la coloración sistemática de patrones y mosaicos en el diseño del color , ed. Best, J., Woodhead Publishing, 381-432, ISBN 9780081016480
^ Shubnikov, AV y Koptsik, VA (1974). Simetría en la ciencia y el arte , Plenum Press, Nueva York, ISBN 9780306307591 (original en ruso publicado por Nauka, Moscú, 1972)
^ Senechal, M. (1983). Coloración simétrica de objetos simétricos , Math. Magazine, 56 (1), 3-16, doi :10.2307/2690259
^ Cromwell, P. R. (1997). Poliedros , Cambridge University Press, 327-348, ISBN 9780521554329
^ Makovicky, E. (2016). La simetría a través de los ojos de los viejos maestros , de Gruyter, Berlín, 133-147, ISBN 9783110417050
^ Lifshitz, R. (1997). Teoría de la simetría del color para cristales periódicos y cuasiperiódicos , Rev. Mod. Phys., 69 (4), 1181–1218, doi :10.1103/RevModPhys.69.1181
^ Conway, JH, Burgeil, H. y Goodman-Strauss, C. (2008). Las simetrías de las cosas , AK Peters, Wellesley, MA, ISBN 9781568812205
^ Jarratt, JD y Schwarzenberger, RLE (1980). Grupos de planos coloreados , Acta Crystallogr., A36 , 884-888, doi :10.1107/S0567739480001866
Lectura adicional
Senechal, M. (1975). Grupos de puntos y simetría de color , Z. Krist., 142 , 1-23, doi :10.1524/zkri.1975.142.16.1
