Susceptibilidad eléctrica

Grado de polarización

En electricidad ( electromagnetismo ), la susceptibilidad eléctrica ( en latín susceptibilis "receptivo") es una constante de proporcionalidad adimensional que indica el grado de polarización de un material dieléctrico en respuesta a un campo eléctrico aplicado . Cuanto mayor sea la susceptibilidad eléctrica, mayor será la capacidad de un material para polarizarse en respuesta al campo, y por lo tanto reducir el campo eléctrico total dentro del material (y almacenar energía). Es de esta manera que la susceptibilidad eléctrica influye en la permitividad eléctrica del material y, por lo tanto, influye en muchos otros fenómenos en ese medio, desde la capacitancia de los condensadores hasta la velocidad de la luz . ^{[1] [2]} ${\displaystyle \chi _{\text{e}}}$

Definición de dieléctricos lineales

Si un material dieléctrico es un dieléctrico lineal, entonces la susceptibilidad eléctrica se define como la constante de proporcionalidad (que puede ser un tensor ) que relaciona un campo eléctrico E con la densidad de polarización dieléctrica inducida P tal que ^{[3] [4]} donde $${\displaystyle \mathbf {P} =\varepsilon _{0}\chi _{\text{e}}{\mathbf {E} },}$$

• ${\displaystyle \mathbf {P} }$es la densidad de polarización;
• ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$es la permitividad eléctrica del espacio libre (constante eléctrica);
• ${\displaystyle \chi _{\text{e}}}$es la susceptibilidad eléctrica;
• ${\displaystyle \mathbf {E} }$es el campo eléctrico.

En los materiales en los que la susceptibilidad es anisotrópica (diferente según la dirección), la susceptibilidad se representa como un tensor conocido como tensor de susceptibilidad. Muchos dieléctricos lineales son isotrópicos, pero es posible que un material presente un comportamiento que sea tanto lineal como anisotrópico, o que un material sea no lineal pero isotrópico. La susceptibilidad anisotrópica pero lineal es común en muchos cristales. ^[3]

La susceptibilidad está relacionada con su permitividad relativa (constante dieléctrica), por lo que en el caso del vacío, ${\displaystyle \varepsilon _{\textrm {r}}}$ $${\displaystyle \chi _{\text{e}}\ =\varepsilon _{\text{r}}-1}$$ $${\displaystyle \chi _{\text{e}}\ =0.}$$

Al mismo tiempo, el desplazamiento eléctrico D está relacionado con la densidad de polarización P por la siguiente relación: ^[3] donde $${\displaystyle \mathbf {D} \ =\ \varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} \ =\ \varepsilon _{0}(1+\chi _{\text{e}})\mathbf {E} \ =\ \varepsilon _{\text{r}}\varepsilon _{0}\mathbf {E} \ =\ \varepsilon \mathbf {E} }$$

• ${\displaystyle \varepsilon \ =\ \varepsilon _{\text{r}}\varepsilon _{0}}$
• ${\displaystyle \varepsilon _{\text{r}}\ =\ 1+\chi _{\text{e}}}$

Polarizabilidad molecular

Existe un parámetro similar para relacionar la magnitud del momento dipolar inducido p de una molécula individual con el campo eléctrico local E que indujo el dipolo. Este parámetro es la polarizabilidad molecular ( α ), y el momento dipolar resultante del campo eléctrico local E _local viene dado por: $${\displaystyle \mathbf {p} =\varepsilon _{0}\alpha \mathbf {E_{\text{local}}} }$$

Sin embargo, esto introduce una complicación, ya que localmente el campo puede diferir significativamente del campo general aplicado. Tenemos: donde P es la polarización por unidad de volumen y N es el número de moléculas por unidad de volumen que contribuyen a la polarización. Por lo tanto, si el campo eléctrico local es paralelo al campo eléctrico ambiental, tenemos: $${\displaystyle \mathbf {P} =N\mathbf {p} =N\varepsilon _{0}\alpha \mathbf {E} _{\text{local}},}$$ $${\displaystyle \chi _{\text{e}}\mathbf {E} =N\alpha \mathbf {E} _{\text{local}}}$$

Así, sólo si el campo local es igual al campo ambiental podemos escribir: $${\displaystyle \chi _{\text{e}}=N\alpha .}$$

De lo contrario, se debería encontrar una relación entre el campo local y el macroscópico. En algunos materiales, la relación de Clausius-Mossotti se cumple y se lee $${\displaystyle {\frac {\chi _{\text{e}}}{3+\chi _{\text{e}}}}={\frac {N\alpha }{3}}.}$$

Ambigüedad en la definición

La definición de polarizabilidad molecular depende del autor. En la definición anterior, y están en unidades del SI y la polarizabilidad molecular tiene la dimensión de un volumen (m ³ ). Otra definición ^[5] sería mantener las unidades del SI e integrar en : $${\displaystyle \mathbf {p} =\varepsilon _{0}\alpha \mathbf {E_{\text{local}}} ,}$$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ ${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle \mathbf {p} =\alpha \mathbf {E_{\text{local}}} .}$$

En esta segunda definición, la polarizabilidad tendría la unidad SI de Cm2 ^/ V. Existe otra definición ^[5] donde y se expresan en el sistema cgs y todavía se define como ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \alpha }$ $${\displaystyle \mathbf {p} =\alpha \mathbf {E_{\text{local}}} .}$$

El uso de las unidades cgs da la dimensión de un volumen, como en la primera definición, pero con un valor menor . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle 4\pi }$

Susceptibilidad no lineal

En muchos materiales, la polarizabilidad comienza a saturarse a valores altos de campo eléctrico. Esta saturación se puede modelar mediante una susceptibilidad no lineal . Estas susceptibilidades son importantes en la óptica no lineal y dan lugar a efectos como la generación de segundos armónicos (como los que se utilizan para convertir la luz infrarroja en luz visible, en los punteros láser verdes ).

La definición estándar de susceptibilidades no lineales en unidades del SI es mediante una expansión de Taylor de la reacción de la polarización al campo eléctrico: ^[6] (Excepto en materiales ferroeléctricos , la polarización incorporada es cero, .) El primer término de susceptibilidad, , corresponde a la susceptibilidad lineal descrita anteriormente. Si bien este primer término es adimensional, las susceptibilidades no lineales posteriores tienen unidades de (m/V) ^{n −1} . $${\displaystyle P=P_{0}+\varepsilon _{0}\chi ^{(1)}E+\varepsilon _{0}\chi ^{(2)}E^{2}+\varepsilon _{0}\chi ^{(3)}E^{3}+\cdots .}$$ ${\displaystyle P_{0}=0}$ ${\displaystyle \chi ^{(1)}}$ ${\displaystyle \chi ^{(n)}}$

Las susceptibilidades no lineales se pueden generalizar a materiales anisotrópicos en los que la susceptibilidad no es uniforme en todas las direcciones. En estos materiales, cada susceptibilidad se convierte en un tensor de ( n + 1 ) grados . ${\displaystyle \chi ^{(n)}}$

Dispersión y causalidad

Gráfica de la constante dieléctrica en función de la frecuencia que muestra varias resonancias y mesetas, que indican los procesos que responden en la escala de tiempo de un período . Esto demuestra que es útil pensar en la susceptibilidad en términos de su transformada de Fourier.

En general, un material no puede polarizarse instantáneamente en respuesta a un campo aplicado, por lo que la formulación más general en función del tiempo es $${\displaystyle \mathbf {P} (t)=\varepsilon _{0}\int _{-\infty }^{t}\chi _{\text{e}}(t-t')\mathbf {E} (t')\,\mathrm {d} t'.}$$

Es decir, la polarización es una convolución del campo eléctrico en tiempos anteriores con susceptibilidad dependiente del tiempo dada por . El límite superior de esta integral puede extenderse hasta el infinito también si se define para . Una respuesta instantánea corresponde a la susceptibilidad de la función delta de Dirac . ${\displaystyle \chi _{\text{e}}(\Delta t)}$ ${\displaystyle \chi _{\text{e}}(\Delta t)=0}$ ${\displaystyle \Delta t<0}$ ${\displaystyle \chi _{\text{e}}(\Delta t)=\chi _{\text{e}}\delta (\Delta t)}$

En un sistema lineal es más conveniente tomar la transformada de Fourier y escribir esta relación como una función de la frecuencia. Debido al teorema de convolución , la integral se convierte en un producto, $${\displaystyle \mathbf {P} (\omega )=\varepsilon _{0}\chi _{\text{e}}(\omega )\mathbf {E} (\omega ).}$$

Esto tiene una forma similar a la relación Clausius-Mossotti : ^[7] $${\displaystyle \mathbf {P} (\mathbf {r} )=\varepsilon _{0}{\frac {N\alpha (\mathbf {r} )}{1-{\frac {1}{3}}N(\mathbf {r} )\alpha (\mathbf {r} )}}\mathbf {E} (\mathbf {r} )=\varepsilon _{0}\chi _{\text{e}}(\mathbf {r} )\mathbf {E} (\mathbf {r} )}$$

Esta dependencia de la susceptibilidad con respecto a la frecuencia conduce a la dependencia de la permitividad con respecto a la frecuencia. La forma de la susceptibilidad con respecto a la frecuencia caracteriza las propiedades de dispersión del material.

Además, el hecho de que la polarización sólo puede depender del campo eléctrico en tiempos anteriores (es decir, para ), una consecuencia de la causalidad , impone restricciones de Kramers-Kronig sobre la susceptibilidad . ${\displaystyle \chi _{\text{e}}(\Delta t)=0}$ ${\displaystyle \Delta t<0}$ ${\displaystyle \chi _{\text{e}}(0)}$

Véase también

• Aplicación de la teoría tensorial en física
• Susceptibilidad magnética
• Ecuaciones de Maxwell
• Relación Clausius-Mossotti
• Función de respuesta lineal
• Relaciones entre Green y Kubo

Referencias

1. "Susceptibilidad eléctrica". Encyclopædia Britannica .
2. Cardarelli, François (2000–2008). Materials Handbook: A Concise Desktop Reference (2.ª ed.). Londres: Springer-Verlag . pp. 524 (Sección 8.1.16). doi :10.1007/978-1-84628-669-8. ISBN 978-1-84628-668-1.
3. Griffiths, David J (2017). Introducción a la electrodinámica (4.ª ed.). Cambridge University Press. págs. 181–190.
4. Freeman, Richard; King, James; Lafyatis, Gregory (2019). "Fundamentos de electricidad y magnetismo". Radiación electromagnética. Oxford University Press. doi :10.1093/oso/9780198726500.003.0001. ISBN 978-0-19-872650-0.
5. CRC Handbook of Chemistry and Physics (PDF) (84.ª ed.). CRC. págs. 10–163. Archivado desde el original (PDF) el 2016-10-06 . Consultado el 2016-08-19 .
6. Butcher, Paul N.; Cotter, David (1990). Los elementos de la óptica no lineal . Cambridge University Press. doi :10.1017/CBO9781139167994. ISBN 9781139167994.
7. Freeman, Richard; King, James; Lafyatis, Gregory (2019), "Fundamentos de electricidad y magnetismo", Radiación electromagnética , Oxford: Oxford University Press, doi :10.1093/oso/9780198726500.001.0001/oso-9780198726500-chapter-1#oso-9780198726500-chapter-1-displaymaths-20 (inactivo 2024-09-12), ISBN 978-0-19-872650-0, consultado el 18 de febrero de 2022{{citation}}: CS1 maint: DOI inactive as of September 2024 (link)