Avión de Minkowski

Tipos de aviones Benz

En matemáticas, un plano de Minkowski (llamado así por Hermann Minkowski ) es uno de los planos de Benz (los otros son el plano de Möbius y el plano de Laguerre ).

Avión clásico real de Minkowski

Avión clásico de Minkowski: modelo 2D/3D

Aplicando la distancia pseudo-euclidiana en dos puntos (en lugar de la distancia euclidiana) obtenemos la geometría de las hipérbolas , porque un círculo pseudo-euclidiano es una hipérbola con punto medio ⁠ ⁠ . ${\displaystyle d(P_{1},P_{2})=(x'_{1}-x'_{2})^{2}-(y'_{1}-y'_{2})^{2}}$ ${\displaystyle P_{i}=(x'_{i},y'_{i})}$ ${\displaystyle \{P\in \mathbb {R} ^{2}\mid d(P,M)=r\}}$ ${\displaystyle M}$

Mediante una transformación de coordenadas ⁠ ⁠ ${\displaystyle x_{i}=x'_{i}+y'_{i}}$ , ⁠ ⁠ ${\displaystyle y_{i}=x'_{i}-y'_{i}}$ , la distancia pseudoeuclidiana se puede reescribir como ⁠ ⁠ ${\displaystyle d(P_{1},P_{2})=(x_{1}-x_{2})(y_{1}-y_{2})}$ . Las hipérbolas tienen entonces asíntotas paralelas a los ejes de coordenadas no primos.

La siguiente terminación (ver planos de Möbius y Laguerre) homogeneiza la geometría de las hipérbolas:

• el conjunto de puntos : $${\displaystyle {\mathcal {P}}:=\left(\mathbb {R} \cup \left\{\infty \right\}\right)^{2}=\mathbb {R} ^{2}\cup \left(\left\{\infty \right\}\times \mathbb {R} \right)\cup \left(\mathbb {R} \times \left\{\infty \right\}\right)\ \cup \left\{\left(\infty ,\infty \right)\right\}\ ,\ \infty \notin \mathbb {R} ,}$$
• el conjunto de ciclos $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}:={}&\left\{\left\{\left(x,y\right)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y=ax+b\right\}\cup \left\{\left(\infty ,\infty \right)\right\}\mid a,b\in \mathbb {R} ,a\neq 0\right\}\\&\quad \cup \left\{\left\{\left(x,y\right)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y={\frac {a}{x-b}}+c,x\neq b\right\}\cup \left\{\left(b,\infty \right),\left(\infty ,c\right)\right\}\mid a,b,c\in \mathbb {R} ,a\neq 0\right\}.\end{aligned}}}$$

La estructura de incidencia se denomina plano de Minkowski real clásico . ${\displaystyle ({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )}$

El conjunto de puntos consta de ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ , dos copias de y el punto ⁠ ⁠ . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (\infty ,\infty )}$

Toda recta se completa por el punto ⁠ ⁠ , toda hipérbola por los dos puntos (ver figura). ${\displaystyle y=ax+b,a\neq 0}$ ${\displaystyle (\infty ,\infty )}$ ${\displaystyle y={\frac {a}{x-b}}+c,a\neq 0}$ ${\displaystyle (b,\infty ),(\infty ,c)}$

Dos puntos no pueden estar conectados por un ciclo si y sólo si o ⁠ ⁠ . ${\displaystyle (x_{1},y_{1})\neq (x_{2},y_{2})}$ ${\displaystyle x_{1}=x_{2}}$ ${\displaystyle y_{1}=y_{2}}$

Definimos: Dos puntos , son (+)-paralelos ( ⁠ ⁠ ) si y (−)-paralelos ( ⁠ ⁠ ) si ⁠ ⁠ . Ambas relaciones son relaciones de equivalencia en el conjunto de puntos. ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle P_{1}\parallel _{+}P_{2}}$ ${\displaystyle x_{1}=x_{2}}$ ${\displaystyle P_{1}\parallel _{-}P_{2}}$ ${\displaystyle y_{1}=y_{2}}$

Dos puntos se llaman paralelos ( ⁠ ⁠ ) si o ⁠ ⁠ . ${\displaystyle P_{1},P_{2}}$ ${\displaystyle P_{1}\parallel P_{2}}$ ${\displaystyle P_{1}\parallel _{+}P_{2}}$ ${\displaystyle P_{1}\parallel _{-}P_{2}}$

De la definición anterior encontramos:

Lema:

• Para cualquier par de puntos no paralelos ⁠ ⁠ ${\displaystyle A}$ , hay exactamente un punto con ⁠ ⁠ . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A\parallel _{+}C\parallel _{-}B}$
• Para cualquier punto y cualquier ciclo hay exactamente dos puntos con ⁠ ⁠ . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle A,B\in z}$ ${\displaystyle A\parallel _{+}P\parallel _{-}B}$
• Para cualesquiera tres puntos ⁠ ⁠ ${\displaystyle A}$ , ⁠ ⁠ ${\displaystyle B}$ , ⁠ ⁠ ${\displaystyle C}$ , no paralelos entre sí, hay exactamente un ciclo que contiene ⁠ ⁠ . ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle A,B,C}$
• Para cualquier ciclo ⁠ ⁠ ${\displaystyle z}$ , cualquier punto y cualquier punto y existe exactamente un ciclo tal que ⁠ ⁠ , es decir, toca en el punto ⁠ ⁠ . ${\displaystyle P\in z}$ ${\displaystyle Q,P\not \parallel Q}$ ${\displaystyle Q\notin z}$ ${\displaystyle z'}$ ${\displaystyle z\cap z'=\{P\}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z'}$ ${\displaystyle P}$

Al igual que los planos clásicos de Möbius y Laguerre, los planos de Minkowski pueden describirse como la geometría de las secciones planas de una cuádrica adecuada. Pero en este caso la cuádrica vive en un espacio tridimensional proyectivo : el plano clásico real de Minkowski es isomorfo a la geometría de las secciones planas de un hiperboloide de una hoja (no una cuádrica degenerada de índice 2).

Axiomas de un plano de Minkowski

Sea una estructura de incidencia con el conjunto de puntos, el conjunto de ciclos y dos relaciones de equivalencia ((+)-paralelas) y ((−)-paralelas) en el conjunto . Para definimos: y . Una clase de equivalencia o se llama (+)-generador y (−)-generador , respectivamente. (Para el modelo espacial del plano clásico de Minkowski, un generador es una línea en el hiperboloide). Dos puntos se llaman paralelos ( ) si o . ${\displaystyle \left({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}};\parallel _{+},\parallel _{-},\in \right)}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$ ${\displaystyle \parallel _{+}}$ ${\displaystyle \parallel _{-}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle P\in {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle {\overline {P}}_{+}:=\left\{Q\in {\mathcal {P}}\mid Q\parallel _{+}P\right\}}$ ${\displaystyle {\overline {P}}_{-}:=\left\{Q\in {\mathcal {P}}\mid Q\parallel _{-}P\right\}}$ ${\displaystyle {\overline {P}}_{+}}$ ${\displaystyle {\overline {P}}_{-}}$
${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle A\parallel B}$ ${\displaystyle A\parallel _{+}B}$ ${\displaystyle A\parallel _{-}B}$

Una estructura de incidencia se denomina plano de Minkowski si se cumplen los siguientes axiomas: ${\displaystyle {\mathfrak {M}}:=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}};\parallel _{+},\parallel _{-},\in )}$

Axiomas de Minkowski c1-c2

Axiomas de Minkowski c3-c4

• C1 : Para cualquier par de puntos no paralelos hay exactamente un punto con . ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A\parallel _{+}C\parallel _{-}B}$
• C2 : Para cualquier punto y cualquier ciclo hay exactamente dos puntos con . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle A,B\in z}$ ${\displaystyle A\parallel _{+}P\parallel _{-}B}$
• C3 : Para cualesquiera tres puntos , no paralelos entre sí, hay exactamente un ciclo que contiene . ${\displaystyle A,B,C}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle A,B,C}$
• C4 : Para cualquier ciclo , cualquier punto y cualquier punto y existe exactamente un ciclo tal que , es decir, toca en el punto . ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle P\in z}$ ${\displaystyle Q,P\not \parallel Q}$ ${\displaystyle Q\notin z}$ ${\displaystyle z'}$ ${\displaystyle z\cap z'=\{P\}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z'}$ ${\displaystyle P}$
• C5 : Cualquier ciclo contiene al menos 3 puntos. Hay al menos un ciclo y un punto que no está en . ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle z}$

Para las investigaciones son ventajosas las siguientes afirmaciones sobre clases paralelas (equivalentes a C1, C2 respectivamente).

• C1′ : Para cualesquiera dos puntos ⁠ ⁠ ${\displaystyle A}$ , tenemos ⁠ ⁠ . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \left|{\overline {A}}_{+}\cap {\overline {B}}_{-}\right|=1}$
• C2′ : Para cualquier punto y cualquier ciclo tenemos: ⁠ ⁠ . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \left|{\overline {P}}_{+}\cap z\right|=1=\left|{\overline {P}}_{-}\cap z\right|}$

Las primeras consecuencias de los axiomas son

Lema  —  Para un avión Minkowski lo siguiente es cierto ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$

1. Cualquier punto está contenido en al menos un ciclo.
2. Cualquier generador contiene al menos 3 puntos.
3. Dos puntos pueden estar conectados por un ciclo si y sólo si no son paralelos.

De manera análoga a los planos de Möbius y Laguerre obtenemos la conexión con la geometría lineal a través de los residuos.

Para un plano de Minkowski definimos la estructura local y la llamamos residuo en el punto P. ${\displaystyle {\mathfrak {M}}=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}};\parallel _{+},\parallel _{-},\in )}$ ${\displaystyle P\in {\mathcal {P}}}$ $${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{P}:=({\mathcal {P}}\setminus {\overline {P}},\{z\setminus \{{\overline {P}}\}\mid P\in z\in {\mathcal {Z}}\}\cup \{E\setminus {\overline {P}}\mid E\in {\mathcal {E}}\setminus \{{\overline {P}}_{+},{\overline {P}}_{-}\}\},\in )}$$

Porque el plano clásico de Minkowski es el verdadero plano afín . ${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{(\infty ,\infty )}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Una consecuencia inmediata de los axiomas C1 a C4 y C1′, C2′ son los dos teoremas siguientes.

Teorema  :  Para un plano de Minkowski cualquier residuo es un plano afín. ${\displaystyle {\mathfrak {M}}=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}};\parallel _{+},\parallel ,\in )}$

Teorema  —  Sea una estructura de incidencia con dos relaciones de equivalencia y en el conjunto de puntos (ver arriba). ${\displaystyle {\mathfrak {M}}=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}};\parallel _{+},\parallel _{-},\in )}$ ${\displaystyle \parallel _{+}}$ ${\displaystyle \parallel _{-}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

Entonces, es un plano de Minkowski si y sólo si para cualquier punto el residuo es un plano afín. ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{P}}$

Modelo minimalista

Avión Minkowski: modelo minimalista

El modelo mínimo de un avión de Minkowski se puede establecer sobre el conjunto de tres elementos: ${\displaystyle {\overline {K}}:=\{0,1,\infty \}}$ $${\displaystyle {\mathcal {P}}:={\overline {K}}^{2}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}:\!&=\left\{\{(a_{1},b_{1}),(a_{2},b_{2}),(a_{3},b_{3})\}\mid \{a_{1},a_{2},a_{3}\}=\{b_{1},b_{2},b_{3}\}={\overline {K}}\right\}\\&=\{\{(0,0),(1,1),(\infty ,\infty )\},\;\{(0,0),(1,\infty ),(\infty ,1)\},\\&\qquad \{(0,1),(1,0),(\infty ,\infty )\},\;\{(0,1),(1,\infty ),(\infty ,0)\},\\&\qquad \{(0,\infty ),(1,1),(\infty ,0)\},\;\{(0,\infty ),(1,0),(\infty ,1)\}\}\end{aligned}}}$$

Puntos paralelos:

• ${\displaystyle (x_{1},y_{1})\parallel _{+}(x_{2},y_{2})}$Si y sólo si ${\displaystyle x_{1}=x_{2}}$
• ${\displaystyle (x_{1},y_{1})\parallel _{-}(x_{2},y_{2})}$si y sólo si ⁠ ⁠ ${\displaystyle y_{1}=y_{2}}$ .

Por lo tanto y ⁠ ⁠ . ${\displaystyle \left|{\mathcal {P}}\right|=9}$ ${\displaystyle \left|{\mathcal {Z}}\right|=6}$

Planos de Minkowski finitos

Para planos de Minkowski finitos obtenemos de C1′, C2′:

Lema  —  Sea un plano de Minkowski finito, es decir . Para cualquier par de ciclos y cualquier par de generadores tenemos: . ${\displaystyle {\mathfrak {M}}=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}};\parallel _{+},\parallel _{-},\in )}$ ${\displaystyle \left|{\mathcal {P}}\right|<\infty }$ ${\displaystyle z_{1},z_{2}}$ ${\displaystyle e_{1},e_{2}}$ ${\displaystyle \left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|=\left|e_{1}\right|=\left|e_{2}\right|}$

Esto da lugar a la definición :
Para un plano de Minkowski finito y un ciclo de llamamos al entero el orden de . ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ ${\displaystyle n=\left|z\right|-1}$ ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$

Consideraciones combinatorias simples dan como resultado

Lema  —  Para un plano de Minkowski finito se cumple lo siguiente: ${\displaystyle {\mathfrak {M}}=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}};\parallel _{+},\parallel _{-},\in )}$

1. Cualquier residuo (plano afín) tiene orden . ${\displaystyle n}$
2. ⁠ ⁠ ${\displaystyle \left|{\mathcal {P}}\right|=(n+1)^{2}}$ ,
3. ⁠ ⁠ ${\displaystyle \left|{\mathcal {Z}}\right|=(n+1)n(n-1)}$ .

Aviones de Minkowski de Miquelian

Obtenemos los ejemplos más importantes de planos de Minkowski generalizando el modelo real clásico: simplemente reemplazamos por un campo arbitrario y obtenemos en cualquier caso un plano de Minkowski . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathfrak {M}}(K)=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}};\parallel _{+},\parallel _{-},\in )}$

De manera análoga a los planos de Möbius y Laguerre , el Teorema de Miquel es una propiedad característica de un plano de Minkowski . ${\displaystyle {\mathfrak {M}}(K)}$

Teorema de Miquel

Teorema (Miquel): Para el plano de Minkowski se cumple lo siguiente: ${\displaystyle {\mathfrak {M}}(K)}$

Si para cualesquiera 8 puntos no paralelos por pares que puedan asignarse a los vértices de un cubo tales que los puntos en 5 caras corresponden a cuádruples concíclicos, entonces el sexto cuádruple de puntos también es concíclico. ${\displaystyle P_{1},...,P_{8}}$

(Para una mejor visión general en la figura se han dibujado círculos en lugar de hipérbolas).

Teorema (Chen): Sólo un plano de Minkowski satisface el teorema de Miquel. ${\displaystyle {\mathfrak {M}}(K)}$

Debido al último teorema se llama plano de Minkowski miqueliano . ${\displaystyle {\mathfrak {M}}(K)}$

Observación: El modelo mínimo de un avión de Minkowski es miqueliano.

Es isomorfo al plano de Minkowski con (campo ⁠ ⁠ ). ${\displaystyle {\mathfrak {M}}(K)}$ ${\displaystyle K=\operatorname {GF} (2)}$ ${\displaystyle \{0,1\}}$

Un resultado sorprendente es

Teorema (Heise): Cualquier plano de Minkowski de orden par es miqueliano.

Observación: Una proyección estereográfica adecuada muestra: es isomorfa a la geometría de las secciones planas de un hiperboloide de una lámina ( cuádrica de índice 2) en el espacio proyectivo tridimensional sobre el campo . ${\displaystyle {\mathfrak {M}}(K)}$ ${\displaystyle K}$

Observación: Hay muchos planos de Minkowski que no son miquelianos (véase el enlace web que aparece a continuación). Pero no hay planos de Minkowski "ovoidales", a diferencia de los planos de Möbius y Laguerre. Porque cualquier conjunto cuadrático de índice 2 en el espacio tridimensional proyectivo es un conjunto cuadrático (véase conjunto cuadrático ).

Véase también

• Geometría conforme

Referencias

• Walter Benz (1973) Vorlesungen über Geomerie der Algebren , Springer
• Francis Buekenhout (editor) (1995) Manual de geometría de incidencia , Elsevier ISBN  0-444-88355-X

Enlaces externos

• Avión Benz en la Enciclopedia de Matemáticas
• Nota de clase Geometrías de círculos planos: introducción a los planos de Moebius, Laguerre y Minkowski