En geometría proyectiva , un plano en el infinito es el hiperplano en el infinito de un espacio proyectivo tridimensional o cualquier plano contenido en el hiperplano en el infinito de cualquier espacio proyectivo de dimensión superior. Este artículo se centrará únicamente en el caso tridimensional.
Hay dos enfoques para definir el plano en el infinito que dependen de si se comienza con un 3-espacio proyectivo o un 3-espacio afín .
Si se da un 3-espacio proyectivo, el plano en el infinito es cualquier plano proyectivo distinguido del espacio. [1] Este punto de vista enfatiza el hecho de que este plano no es geométricamente diferente de cualquier otro plano. Por otro lado, dado un 3-espacio afín, el plano en el infinito es un plano proyectivo que se agrega al 3-espacio afín para darle propiedades de clausura de incidencia . Esto significa que los puntos del plano en el infinito son los puntos donde se encontrarán las líneas paralelas del 3-espacio afín, y las líneas son las líneas donde se encontrarán los planos paralelos del 3-espacio afín. El resultado de la adición es el 3-espacio proyectivo, . Este punto de vista enfatiza la estructura interna del plano en el infinito, pero lo hace parecer "especial" en comparación con los otros planos del espacio.
Si el 3-espacio afín es real, , entonces la adición de un plano proyectivo real en el infinito produce el 3-espacio proyectivo real .
Dado que dos planos proyectivos cualesquiera en un 3-espacio proyectivo son equivalentes, podemos elegir un sistema de coordenadas homogéneo de modo que cualquier punto en el plano en el infinito se represente como ( X : Y : Z :0). [2] Cualquier punto en el 3-espacio afín se representará entonces como ( X : Y : Z :1). Los puntos en el plano en el infinito parecen tener tres grados de libertad, pero las coordenadas homogéneas son equivalentes hasta cualquier reescalamiento:
de modo que las coordenadas ( X : Y : Z :0) se pueden normalizar , reduciendo así los grados de libertad a dos (por tanto, una superficie, es decir, un plano proyectivo).
Proposición : Cualquier línea que pase por el origen (0:0:0:1) y por un punto ( X : Y : Z :1) intersectará al plano en el infinito en el punto ( X : Y : Z :0).
Prueba : Una línea que pasa por los puntos (0:0:0:1) y ( X : Y : Z :1) estará formada por puntos que son combinaciones lineales de los dos puntos dados:
Para que un punto de este tipo se encuentre en el plano infinito, es necesario que . Por lo tanto, al elegir , obtenemos el punto , como se requiere. QED
Cualquier par de líneas paralelas en el espacio tridimensional se intersectará entre sí en un punto del plano en el infinito. Además, cada línea en el espacio tridimensional intersecta el plano en el infinito en un único punto. Este punto está determinado por la dirección (y solo por la dirección) de la línea. Para determinar este punto, considere una línea paralela a la línea dada, pero que pase por el origen, si la línea no pasa ya por el origen. Luego elija cualquier punto, distinto del origen, en esta segunda línea. Si las coordenadas homogéneas de este punto son ( X : Y : Z :1), entonces las coordenadas homogéneas del punto en el infinito por el que pasan la primera y la segunda línea son ( X : Y : Z :0).
Ejemplo : Consideremos una línea que pasa por los puntos (0:0:1:1) y (3:0:1:1). Una línea paralela pasa por los puntos (0:0:0:1) y (3:0:0:1). Esta segunda línea interseca el plano en el infinito en el punto (3:0:0:0). Pero la primera línea también pasa por este punto:
cuando . ■
Cualquier par de planos paralelos en un espacio tridimensional afín se intersecarán entre sí en una línea proyectiva (una línea en el infinito ) en el plano en el infinito. Además, cada plano en el espacio tridimensional afín interseca al plano en el infinito en una línea única. [3] Esta línea está determinada por la dirección (y solo por la dirección) del plano.
Como el plano en el infinito es un plano proyectivo, es homeomorfo a la superficie de una "esfera módulo antípodas", es decir, una esfera en la que los puntos antípodas son equivalentes: S 2 /{1,-1} donde el cociente se entiende como un cociente por una acción de grupo (ver espacio cociente ).
