El elemento pivote o pivote es el elemento de una matriz , o un arreglo , que es seleccionado primero mediante un algoritmo (p. ej. eliminación gaussiana , algoritmo simplex , etc.), para hacer ciertos cálculos. En el caso de los algoritmos matriciales, normalmente se requiere que una entrada pivote sea al menos distinta de cero y, a menudo, distante de él; en este caso encontrar este elemento se llama pivotar . El pivote puede ir seguido de un intercambio de filas o columnas para llevar el pivote a una posición fija y permitir que el algoritmo avance con éxito y posiblemente reducir el error de redondeo. A menudo se utiliza para verificar la forma escalonada de filas .
Se podría pensar que pivotar es intercambiar u ordenar filas o columnas en una matriz y, por lo tanto, se puede representar como una multiplicación por matrices de permutación . Sin embargo, los algoritmos rara vez mueven los elementos de la matriz porque esto costaría demasiado tiempo; en cambio, simplemente realizan un seguimiento de las permutaciones.
En general, pivotar agrega más operaciones al costo computacional de un algoritmo. Estas operaciones adicionales a veces son necesarias para que el algoritmo funcione. Otras veces estas operaciones adicionales valen la pena porque añaden estabilidad numérica al resultado final.
En el caso de la eliminación gaussiana, el algoritmo requiere que los elementos pivote no sean cero. Es necesario intercambiar filas o columnas en el caso de un elemento de pivote cero. El siguiente sistema requiere el intercambio de las filas 2 y 3 para realizar la eliminación.
El sistema que resulta del pivote es el siguiente y permitirá que el algoritmo de eliminación y la sustitución hacia atrás generen la solución al sistema.
Además, en la eliminación gaussiana generalmente es deseable elegir un elemento pivote con un valor absoluto grande . Esto mejora la estabilidad numérica . El siguiente sistema se ve dramáticamente afectado por el error de redondeo cuando se realizan la eliminación gaussiana y la sustitución hacia atrás.
Este sistema tiene la solución exacta de x 1 = 10,00 y x 2 = 1,000, pero cuando el algoritmo de eliminación y la sustitución hacia atrás se realizan utilizando aritmética de cuatro dígitos, el pequeño valor de 11 provoca que se propaguen pequeños errores de redondeo. El algoritmo sin pivotar produce la aproximación de x 1 ≈ 9873,3 y x 2 ≈ 4. En este caso es deseable que intercambiemos las dos filas para que un 21 quede en la posición de pivote.
Considerando este sistema, el algoritmo de eliminación y sustitución hacia atrás usando aritmética de cuatro dígitos produce los valores correctos x 1 = 10,00 y x 2 = 1,000.
En el pivote parcial , el algoritmo selecciona la entrada con el valor absoluto más grande de la columna de la matriz que actualmente se considera como elemento pivote. Más específicamente, al reducir una matriz a forma escalonada de filas, el pivote parcial intercambia filas antes de la reducción de filas de la columna para hacer que el elemento pivote tenga el valor absoluto más grande en comparación con los elementos siguientes en la misma columna. El giro parcial suele ser suficiente para reducir adecuadamente el error de redondeo.
Sin embargo, para ciertos sistemas y algoritmos, es posible que se requiera un giro completo (o un giro máximo) para lograr una precisión aceptable. El pivote completo intercambia filas y columnas para utilizar el elemento más grande (por valor absoluto) de la matriz como pivote. Por lo general, no es necesario un giro completo para garantizar la estabilidad numérica y, debido al costo adicional de buscar el elemento máximo, la mejora en la estabilidad numérica que proporciona generalmente se ve superada por su eficiencia reducida para todas las matrices excepto las más pequeñas. Por lo tanto, rara vez se utiliza. [1]
Otra estrategia, conocida como pivote de torre, también intercambia filas y columnas, pero solo garantiza que el pivote elegido sea simultáneamente la entrada más grande posible en su fila y la entrada más grande posible en su columna, a diferencia de la más grande posible en toda la submatriz restante. [2] Cuando se implementa en computadoras en serie, esta estrategia tiene un costo esperado de solo aproximadamente tres veces el del giro parcial y, por lo tanto, es más barata que el giro completo. Se ha demostrado que el pivote de torre es más estable que el pivote parcial, tanto en teoría como en la práctica.
Una variación de la estrategia de pivote parcial es el pivote escalado. En este enfoque, el algoritmo selecciona como elemento pivote la entrada que es más grande en relación con las entradas de su fila. Esta estrategia es deseable cuando las grandes diferencias de magnitud de las entradas conducen a la propagación del error de redondeo. El pivote escalado debe usarse en un sistema como el siguiente, donde las entradas de una fila varían mucho en magnitud. En el siguiente ejemplo, sería deseable intercambiar las dos filas porque el elemento de pivote actual 30 es mayor que 5,291 pero es relativamente pequeño en comparación con las otras entradas en su fila. En este caso, sin intercambio de filas, los errores de redondeo se propagarán como en el ejemplo anterior.
Una posición de pivote en una matriz, A, es una posición en la matriz que corresponde a un 1 inicial de fila en la forma escalonada reducida de A. Dado que la forma escalonada reducida de A es única, las posiciones de pivote están determinadas de forma única y no dependen de si se realizan o no intercambios de hileras en el proceso de reducción. Además, el pivote de una fila debe aparecer a la derecha del pivote de la fila anterior en forma escalonada .
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