Decaimiento exponencial

Disminución del valor a una tasa proporcional al valor actual

Una cantidad que experimenta un decaimiento exponencial. Las constantes de decaimiento mayores hacen que la cantidad desaparezca mucho más rápidamente. Este gráfico muestra el decaimiento para constantes de decaimiento ( λ ) de 25, 5, 1, 1/5 y 1/25 para x de 0 a 5.

Una cantidad está sujeta a decaimiento exponencial si disminuye a una tasa proporcional a su valor actual. Simbólicamente, este proceso se puede expresar mediante la siguiente ecuación diferencial , donde N es la cantidad y λ ( lambda ) es una tasa positiva llamada constante de decaimiento exponencial , constante de desintegración , ^[1] constante de tasa , ^[2] o constante de transformación : ^[3]

${\displaystyle {\frac {dN(t)}{dt}}=-\lambda N(t).}$

La solución de esta ecuación (ver derivación a continuación) es:

${\displaystyle N(t)=N_{0}e^{-\lambda t},}$

donde N ( t ) es la cantidad en el tiempo t , N ₀ = N (0) es la cantidad inicial, es decir, la cantidad en el tiempo t = 0 .

Medición de las tasas de descomposición

Vida media

Si la cantidad de decaimiento, N ( t ), es el número de elementos discretos en un determinado conjunto , es posible calcular el tiempo promedio que un elemento permanece en el conjunto. Esto se denomina tiempo de vida medio (o simplemente tiempo de vida ), donde la constante de tiempo exponencial , , se relaciona con la constante de velocidad de decaimiento, λ, de la siguiente manera: ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \tau ={\frac {1}{\lambda }}.}$

La vida media puede considerarse como un "tiempo de escala", porque la ecuación de decaimiento exponencial puede escribirse en términos de la vida media, , en lugar de la constante de decaimiento, λ: ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle N(t)=N_{0}e^{-t/\tau },}$

y ese es el tiempo en el que la población del conjunto se reduce a 1 ⁄ e ≈ 0,367879441 veces su valor inicial. Esto equivale a ≈ 1,442695 vidas medias. ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \log _{2}{e}}$

Por ejemplo, si la población inicial del conjunto, N (0), es 1000, entonces la población en el momento , es 368. ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle N(\tau )}$

A continuación se verá una ecuación muy similar, que surge cuando se elige que la base de la exponencial sea 2, en lugar de e . En ese caso, el tiempo de escala es la "vida media".

Vida media

Una característica más intuitiva de la descomposición exponencial para muchas personas es el tiempo que tarda la cantidad en decaer en caer a la mitad de su valor inicial. (Si N ( t ) es discreto, entonces se trata de la vida media en lugar de la vida media). Este tiempo se denomina vida media y a menudo se denota con el símbolo t _1/2 . La vida media se puede escribir en términos de la constante de descomposición, o la vida media, como:

${\displaystyle t_{1/2}={\frac {\ln(2)}{\lambda }}=\tau \ln(2).}$

Cuando se inserta esta expresión en la ecuación exponencial anterior, y ln 2 se absorbe en la base, esta ecuación se convierte en: ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle N(t)=N_{0}2^{-t/t_{1/2}}.}$

Por lo tanto, la cantidad de material restante es 2 ⁻¹  = 1/2 elevado al número (entero o fraccionario) de vidas medias que han transcurrido. Por lo tanto, después de 3 vidas medias quedará 1/2 ³  = 1/8 del material original.

Por lo tanto, la vida media es igual a la vida media dividida por el logaritmo natural de 2, o: ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \tau ={\frac {t_{1/2}}{\ln(2)}}\approx 1.4427\cdot t_{1/2}.}$

Por ejemplo, el polonio-210 tiene una vida media de 138 días y una vida útil media de 200 días.

Solución de la ecuación diferencial

La ecuación que describe la desintegración exponencial es

${\displaystyle {\frac {dN(t)}{dt}}=-\lambda N(t)}$

o bien, reordenando (aplicando la técnica llamada separación de variables ),

${\displaystyle {\frac {dN(t)}{N(t)}}=-\lambda dt.}$

Integrando, tenemos

${\displaystyle \ln N=-\lambda t+C\,}$

donde C es la constante de integración , y por lo tanto

${\displaystyle N(t)=e^{C}e^{-\lambda t}=N_{0}e^{-\lambda t}\,}$

donde la sustitución final, N ₀ = e ^C , se obtiene evaluando la ecuación en t = 0, ya que N ₀ se define como la cantidad en t = 0.

Esta es la forma de la ecuación que se utiliza con más frecuencia para describir la descomposición exponencial. Cualquier constante de descomposición, tiempo de vida medio o vida media es suficiente para caracterizar la descomposición. La notación λ para la constante de descomposición es un remanente de la notación habitual para un valor propio . En este caso, λ es el valor propio del negativo del operador diferencial con N ( t ) como la función propia correspondiente . Las unidades de la constante de descomposición son s ^{−1 [ cita requerida ]} .

Derivación de la vida media

Dado un conjunto de elementos, cuyo número disminuye en última instancia hasta cero, la vida media , , (también llamada simplemente vida ) es el valor esperado de la cantidad de tiempo antes de que un objeto se elimine del conjunto. Específicamente, si la vida individual de un elemento del conjunto es el tiempo transcurrido entre un tiempo de referencia y la eliminación de ese elemento del conjunto, la vida media es la media aritmética de las vidas individuales. ${\displaystyle \tau }$

Partiendo de la fórmula poblacional

${\displaystyle N=N_{0}e^{-\lambda t},\,}$

Primero, sea c el factor normalizador para convertirlo en una función de densidad de probabilidad :

${\displaystyle 1=\int _{0}^{\infty }c\cdot N_{0}e^{-\lambda t}\,dt=c\cdot {\frac {N_{0}}{\lambda }}}$

o, al reorganizar,

${\displaystyle c={\frac {\lambda }{N_{0}}}.}$

La desintegración exponencial es un múltiplo escalar de la distribución exponencial (es decir, la vida útil individual de cada objeto se distribuye exponencialmente), que tiene un valor esperado bien conocido . Podemos calcularlo aquí utilizando la integración por partes .

${\displaystyle \tau =\langle t\rangle =\int _{0}^{\infty }t\cdot c\cdot N_{0}e^{-\lambda t}\,dt=\int _{0}^{\infty }\lambda te^{-\lambda t}\,dt={\frac {1}{\lambda }}.}$

Desintegración por dos o más procesos

Una cantidad puede desintegrarse mediante dos o más procesos diferentes simultáneamente. En general, estos procesos (a menudo denominados "modos de desintegración", "canales de desintegración", "rutas de desintegración", etc.) tienen distintas probabilidades de producirse y, por lo tanto, se producen a distintas velocidades con distintas vidas medias, en paralelo. La velocidad total de desintegración de la cantidad  N viene dada por la suma de las rutas de desintegración; por lo tanto, en el caso de dos procesos:

${\displaystyle -{\frac {dN(t)}{dt}}=N\lambda _{1}+N\lambda _{2}=(\lambda _{1}+\lambda _{2})N.}$

La solución de esta ecuación se da en la sección anterior, donde la suma de se trata como una nueva constante de desintegración total . ${\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}\,}$ ${\displaystyle \lambda _{c}}$

${\displaystyle N(t)=N_{0}e^{-(\lambda _{1}+\lambda _{2})t}=N_{0}e^{-(\lambda _{c})t}.}$

La vida media parcial asociada con procesos individuales es por definición el inverso multiplicativo de la constante de decaimiento parcial correspondiente: . Una combinación puede expresarse en términos de s: ${\displaystyle \tau =1/\lambda }$ ${\displaystyle \tau _{c}}$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle {\frac {1}{\tau _{c}}}=\lambda _{c}=\lambda _{1}+\lambda _{2}={\frac {1}{\tau _{1}}}+{\frac {1}{\tau _{2}}}}$

${\displaystyle \tau _{c}={\frac {\tau _{1}\tau _{2}}{\tau _{1}+\tau _{2}}}.}$

Dado que las vidas medias difieren de la vida media en un factor constante, la misma ecuación se cumple en términos de las dos vidas medias correspondientes: ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle T_{1/2}={\frac {t_{1}t_{2}}{t_{1}+t_{2}}}}$

donde es la vida media combinada o total del proceso, y son las llamadas vidas medias parciales de los procesos correspondientes. Los términos "vida media parcial" y "vida media parcial" denotan cantidades derivadas de una constante de desintegración como si el modo de desintegración dado fuera el único modo de desintegración para la cantidad. El término "vida media parcial" es engañoso, porque no se puede medir como un intervalo de tiempo durante el cual una cierta cantidad se reduce a la mitad . ${\displaystyle T_{1/2}}$ ${\displaystyle t_{1}}$ ${\displaystyle t_{2}}$

En términos de constantes de desintegración independientes, se puede demostrar que la vida media total es ${\displaystyle T_{1/2}}$

${\displaystyle T_{1/2}={\frac {\ln 2}{\lambda _{c}}}={\frac {\ln 2}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}.}$

Para una desintegración por tres procesos exponenciales simultáneos, la vida media total se puede calcular de la siguiente manera:

${\displaystyle T_{1/2}={\frac {\ln 2}{\lambda _{c}}}={\frac {\ln 2}{\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}}}={\frac {t_{1}t_{2}t_{3}}{(t_{1}t_{2})+(t_{1}t_{3})+(t_{2}t_{3})}}.}$

Serie de desintegración / desintegración acoplada

En la ciencia nuclear y la farmacocinética , el agente de interés podría estar situado en una cadena de desintegración, donde la acumulación está gobernada por la desintegración exponencial de un agente fuente, mientras que el agente de interés en sí mismo se desintegra mediante un proceso exponencial.

Estos sistemas se resuelven utilizando la ecuación de Bateman .

En el ámbito farmacológico, algunas sustancias ingeridas podrían ser absorbidas por el cuerpo mediante un proceso razonablemente modelado como decaimiento exponencial, o podrían ser formuladas deliberadamente para tener dicho perfil de liberación.

Aplicaciones y ejemplos

La desintegración exponencial se produce en una amplia variedad de situaciones, la mayoría de las cuales pertenecen al ámbito de las ciencias naturales .

Muchos procesos de desintegración que suelen considerarse exponenciales en realidad sólo lo son si la muestra es grande y se cumple la ley de los grandes números . Para muestras pequeñas, es necesario un análisis más general que tenga en cuenta un proceso de Poisson .

Ciencias naturales

• Reacciones químicas : La velocidad de ciertos tipos de reacciones químicas depende de la concentración de uno u otro reactivo . Las reacciones cuya velocidad depende únicamente de la concentración de un reactivo (conocidas como reacciones de primer orden ) siguen, por tanto, un decaimiento exponencial. Por ejemplo, muchas reacciones catalizadas por enzimas se comportan de esta manera.
• Electrostática : La carga eléctrica (o, equivalentemente, el potencial ) contenida en un condensador (capacitancia C ) se descarga con decaimiento exponencial (cuando el condensador experimenta una carga externa constante de resistencia R ) y de manera similar se carga con la imagen especular del decaimiento exponencial (cuando el condensador se carga desde una fuente de voltaje constante a través de una resistencia constante). La constante de tiempo exponencial para el proceso espor lo que la vida media esLas mismas ecuaciones se pueden aplicar al dual de la corriente en un inductor. ${\displaystyle \tau =R\,C,}$ ${\displaystyle R\,C\,\ln(2).}$
  • Además, el caso particular de un condensador o inductor que cambia de estado a través de varias resistencias en paralelo constituye un ejemplo interesante de múltiples procesos de desintegración, en el que cada resistencia representa un proceso independiente. De hecho, la expresión para la resistencia equivalente de dos resistencias en paralelo refleja la ecuación para la vida media con dos procesos de desintegración.
• Geofísica : La presión atmosférica disminuye aproximadamente exponencialmente con el aumento de la altura sobre el nivel del mar, a una tasa de alrededor del 12% por cada 1000 m. ^{[ cita requerida ]}
• Transferencia de calor : Si un objeto a una temperatura se expone a un medio a otra temperatura, la diferencia de temperatura entre el objeto y el medio sigue un decaimiento exponencial (en el límite de los procesos lentos; equivalente a una "buena" conducción del calor dentro del objeto, de modo que su temperatura se mantiene relativamente uniforme en todo su volumen). Véase también la ley de enfriamiento de Newton .
• Luminiscencia : después de la excitación, la intensidad de emisión (que es proporcional al número de átomos o moléculas excitados) de un material luminiscente decae exponencialmente. Según el número de mecanismos implicados, la desintegración puede ser mono o multiexponencial.
• Farmacología y toxicología : Se ha descubierto que muchas sustancias administradas se distribuyen y metabolizan (véase aclaramiento ) según patrones de decaimiento exponencial. Las semividas biológicas "semivida alfa" y "semivida beta" de una sustancia miden la rapidez con la que se distribuye y se elimina una sustancia.
• Óptica física : La intensidad de la radiación electromagnética, como la luz, los rayos X o los rayos gamma, en un medio absorbente, disminuye exponencialmente con la distancia al interior del medio absorbente. Esta ley se conoce como ley de Beer-Lambert .
• Radiactividad : en una muestra de un radionucleido que sufre una desintegración radiactiva a un estado diferente, el número de átomos en el estado original sigue una desintegración exponencial mientras el número de átomos restantes sea grande. El producto de la desintegración se denomina nucleido radiogénico .
• Termoelectricidad : La disminución de la resistencia de un termistor de coeficiente de temperatura negativo a medida que aumenta la temperatura.
• Vibraciones : Algunas vibraciones pueden decaer exponencialmente; esta característica se encuentra a menudo en osciladores mecánicos amortiguados y se utiliza para crear envolventes ADSR en sintetizadores . Un sistema sobreamortiguado simplemente volverá al equilibrio a través de un decaimiento exponencial.
• Espuma de cerveza: Arnd Leike, de la Universidad Ludwig Maximilian de Múnich , ganó un premio Ig Nobel por demostrar que la espuma de cerveza obedece a la ley de decaimiento exponencial. ^[4]

Ciencias sociales

• Finanzas : un fondo de jubilación se desintegrará exponencialmente al estar sujeto a montos de pago discretos, generalmente mensuales, y a un insumo sujeto a una tasa de interés continua. Se puede escribir y resolver una ecuación diferencial dA/dt = insumo – producto para encontrar el tiempo necesario para alcanzar cualquier monto A restante en el fondo.
• En glotocronología simple , la suposición (discutible) de una tasa de decaimiento constante en las lenguas permite estimar la edad de cada una de ellas (para calcular el tiempo de separación entre dos lenguas se requieren suposiciones adicionales, independientes del decaimiento exponencial).

Ciencias de la Computación

• El protocolo de enrutamiento central de Internet , BGP , tiene que mantener una tabla de enrutamiento para recordar las rutas a las que se puede desviar un paquete . Cuando una de estas rutas cambia repetidamente su estado de disponible a no disponible (y viceversa ), el enrutador BGP que controla esa ruta tiene que agregar y eliminar repetidamente el registro de ruta de su tabla de enrutamiento ( flaps the path), gastando así recursos locales como CPU y RAM y, aún más, transmitiendo información inútil a los enrutadores pares. Para evitar este comportamiento no deseado, un algoritmo llamado amortiguamiento de flapping de ruta asigna a cada ruta un peso que se hace más grande cada vez que la ruta cambia su estado y decae exponencialmente con el tiempo. Cuando el peso alcanza un cierto límite, no se realizan más flapping, suprimiendo así la ruta.

Gráficos que comparan los tiempos de duplicación y las vidas medias de crecimientos exponenciales (líneas en negrita) y decrecimientos (líneas tenues) y sus aproximaciones 70/ t y 72/ t . En la versión SVG, pase el cursor sobre un gráfico para resaltarlo y su complemento.

Véase también

• Fórmula exponencial
• Crecimiento exponencial
• Desintegración radiactiva para las matemáticas de cadenas de procesos exponenciales con constantes diferentes

Notas

1. Serway, Moses y Moyer (1989, pág. 384)
2. Simmons (1972, pág. 15)
3. McGraw-Hill (2007)
4. Leike, A. (2002). "Demostración de la ley de decaimiento exponencial usando espuma de cerveza". Revista Europea de Física . 23 (1): 21–26. Bibcode :2002EJPh...23...21L. CiteSeerX  10.1.1.693.5948 . doi :10.1088/0143-0807/23/1/304. S2CID  250873501.

Referencias

• Enciclopedia McGraw-Hill de Ciencia y Tecnología (10.ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill . 2007. ISBN 978-0-07-144143-8.
• Serway, Raymond A.; Moses, Clement J.; Moyer, Curt A. (1989), Física moderna , Fort Worth: Harcourt Brace Jovanovich , ISBN 0-03-004844-3
• Simmons, George F. (1972), Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas , Nueva York: McGraw-Hill , LCCN  75173716

Enlaces externos

• Calculadora de decaimiento exponencial
• Una simulación estocástica de decaimiento exponencial
• Tutorial sobre constantes de tiempo