Acción de Proca

Acción de un campo de calibración abeliano masivo

En física , específicamente en teoría de campos y física de partículas , la acción de Proca describe un campo masivo de espín -1 de masa m en el espacio-tiempo de Minkowski . La ecuación correspondiente es una ecuación de onda relativista llamada ecuación de Proca . ^[1] La acción y la ecuación de Proca reciben su nombre del físico rumano Alexandru Proca .

La ecuación de Proca está involucrada en el Modelo Estándar y describe allí los tres bosones vectoriales masivos , es decir, los bosones Z y W.

Este artículo utiliza la notación de índice tensorial y firma métrica (+−−−) en el lenguaje de 4-vectores .

Densidad lagrangiana

El campo involucrado es un potencial complejo de 4 , donde es un tipo de potencial eléctrico generalizado y es un potencial magnético generalizado . El campo se transforma como un vector complejo de cuatro . ${\displaystyle B^{\mu }=\left({\frac {\phi }{c}},\mathbf {A} \right)}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle B^{\mu }}$

La densidad lagrangiana viene dada por: ^[2]

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }B_{\nu }^{*}-\partial _{\nu }B_{\mu }^{*})(\partial ^{\mu }B^{\nu }-\partial ^{\nu }B^{\mu })+{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}B_{\nu }^{*}B^{\nu }.}$

donde es la velocidad de la luz en el vacío , es la constante de Planck reducida y es el 4-gradiente . ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle \partial _{\mu }}$

Ecuación

La ecuación de movimiento de Euler-Lagrange para este caso, también llamada ecuación de Proca , es:

${\displaystyle \partial _{\mu }(\partial ^{\mu }B^{\nu }-\partial ^{\nu }B^{\mu })+\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}B^{\nu }=0}$

que es equivalente a la conjunción de ^[3]

${\displaystyle \left[\partial _{\mu }\partial ^{\mu }+\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\right]B^{\nu }=0}$

con (en el caso masivo)

${\displaystyle \partial _{\mu }B^{\mu }=0\!}$

que puede denominarse condición de calibre de Lorenz generalizada . Para fuentes distintas de cero, con todas las constantes fundamentales incluidas, la ecuación de campo es:

${\displaystyle c{{\mu }_{0}}{{j}^{\nu }}=\left({{g}^{\mu \nu }}\left({{\partial }_{\sigma }}{{\partial }^{\sigma }}+{{m}^{2}}{{c}^{2}}/{{\hbar }^{2}}\right)-{{\partial }^{\nu }}{{\partial }^{\mu }}\right){{B}_{\mu }}}$

Cuando , las ecuaciones libres de fuente se reducen a ecuaciones de Maxwell sin carga ni corriente, y lo anterior se reduce a la ecuación de carga de Maxwell. Esta ecuación de campo de Proca está estrechamente relacionada con la ecuación de Klein–Gordon , porque es de segundo orden en el espacio y el tiempo. ${\displaystyle m=0}$

En la notación del cálculo vectorial , las ecuaciones libres de origen son:

${\displaystyle \Box \phi -{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {A} \right)=-\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\phi \!}$

${\displaystyle \Box \mathbf {A} +\nabla \left({\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {A} \right)=-\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\mathbf {A} \!}$

y es el operador D'Alembert . ${\displaystyle \Box }$

Fijación del calibre

La acción de Proca es la versión fija de la acción de Stueckelberg a través del mecanismo de Higgs . La cuantificación de la acción de Proca requiere el uso de restricciones de segunda clase .

Si no son invariantes bajo las transformaciones de calibre del electromagnetismo. ${\displaystyle m\neq 0}$

${\displaystyle B^{\mu }\rightarrow B^{\mu }-\partial ^{\mu }f}$

donde es una función arbitraria. ${\displaystyle f}$

Véase también

• Campo electromagnético
• Fotón
• Electrodinámica cuántica
• Gravedad cuántica
• Bosón vectorial
• Ecuaciones de onda relativistas
• Ecuación de Klein-Gordon (espín 0)
• Ecuación de Dirac (espín 1/2)

Referencias

1. Física de partículas (2.ª edición), BR Martin, G. Shaw, Manchester Physics, John Wiley & Sons, 2008, ISBN  978-0-470-03294-7
2. W. Greiner, "Mecánica cuántica relativista", Springer, pág. 359, ISBN 3-540-67457-8 
3. Enciclopedia de Física McGraw Hill (2.ª edición), CB Parker, 1994, ISBN 0-07-051400-3 

Lectura adicional

• La supersimetría desmitificada, P. Labelle, McGraw–Hill (Estados Unidos), 2010, ISBN 978-0-07-163641-4 
• Teoría cuántica de campos, D. McMahon, Mc Graw Hill (EE. UU.), 2008, ISBN 978-0-07-154382-8 
• La mecánica cuántica desmitificada, D. McMahon, Mc Graw Hill (EE. UU.), 2006, ISBN 0-07-145546 9