(B, N) par

En matemáticas , un par ( B , N ) es una estructura en grupos de tipo Lie que permite dar pruebas uniformes de muchos resultados, en lugar de dar una gran cantidad de pruebas caso por caso. En términos generales, muestra que todos estos grupos son similares al grupo lineal general en un campo. Fueron introducidos por el matemático Jacques Tits y, a veces, también se les conoce como sistemas de Tits .

Definición

Un par ( B , N ) es un par de subgrupos B y N de un grupo G tal que se cumplen los siguientes axiomas:

• G es generado por B y N .
• La intersección, T , de B y N es un subgrupo normal de N.
• El grupo W = N/T es generado por un conjunto S de elementos de orden 2 tal que
  • Si s es un elemento de S y w es un elemento de W , entonces sBw está contenido en la unión de BswB y BwB .
  • Ningún elemento de S normaliza B .

El conjunto S está determinado únicamente por B y N y el par ( W , S ) es un sistema de Coxeter . ^[1]

Terminología

Los pares BN están estrechamente relacionados con los grupos reductivos y la terminología en ambos temas se superpone. El tamaño de S se llama rango . Llamamos

• B el subgrupo Borel (estándar) ,
• T el subgrupo Cartan (estándar) , y
• W el grupo Weyl .

Un subgrupo de G se llama

• parabólico si contiene un conjugado de B ,
• parabólica estándar si, de hecho, contiene al propio B , y
• a Borel (o parabólico mínimo ) si es un conjugado de B.

Ejemplos

Ejemplos abstractos de pares BN surgen de determinadas acciones grupales.

• Supongamos que G es cualquier grupo de permutación doblemente transitivo en un conjunto E con más de 2 elementos. Dejamos que B sea el subgrupo de G que fija un punto x y que N sea el subgrupo que fija o intercambia 2 puntos x e y . El subgrupo T es entonces el conjunto de elementos que fijan tanto x como y , y W tiene orden 2 y su elemento no trivial está representado por cualquier cosa que intercambie x e y .
• Por el contrario, si G tiene un par (B, N) de rango 1, entonces la acción de G sobre las clases laterales de B es doblemente transitiva . Entonces, los pares BN de rango 1 son más o menos iguales que acciones doblemente transitivas en conjuntos con más de 2 elementos.

Se pueden encontrar ejemplos más concretos de pares BN en grupos reductivos.

• Supongamos que G es el grupo lineal general GL _n ( K ) sobre un campo K . Tomamos B como las matrices triangulares superiores, T como las matrices diagonales y N como las matrices monomios , es decir, matrices con exactamente un elemento distinto de cero en cada fila y columna. Hay n  − 1 generadores, representados por las matrices obtenidas al intercambiar dos filas adyacentes de una matriz diagonal. El grupo Weyl es el grupo simétrico de n letras.
• De manera más general, si G es un grupo reductivo sobre un campo K, entonces el grupo G = G ( K ) tiene un par BN en el que
  • B = P ( K ), donde P es un subgrupo parabólico mínimo de G , y
  • N = N ( K ), donde N es el normalizador de un toro máximo dividido contenido en P . ^[2]
• En particular, cualquier grupo finito de tipo Lie tiene la estructura de un par BN.
  • En el campo de dos elementos , el subgrupo de Cartan es trivial en este ejemplo.
• Un grupo algebraico semisimple simplemente conexo sobre un campo local tiene un par BN donde B es un subgrupo Iwahori .

Propiedades

Descomposición de Bruhat

La descomposición de Bruhat establece que G = BWB . Más precisamente, las clases laterales dobles B\G/B están representadas por un conjunto de elevaciones de W a N. ^[3]

Subgrupos parabólicos

Cada subgrupo parabólico es igual a su normalizador en G. ^[4]

Cada parabólica estándar tiene la forma BW ( X ) B para algún subconjunto X de S , donde W ( X ) denota el subgrupo de Coxeter generado por X. Además, dos parábolas estándar son conjugadas si y sólo si sus conjuntos X son iguales. Por tanto, existe una biyección entre subconjuntos de S y parabólicas estándar. ^[5] De manera más general, esta biyección se extiende a clases de conjugación de subgrupos parabólicos. ^[6]

Teorema de simplicidad de las tetas

Los pares BN se pueden utilizar para demostrar que muchos grupos de tipo Lie son módulos simples de sus centros. Más precisamente, si G tiene un par BN tal que B es un grupo soluble , la intersección de todos los conjugados de B es trivial y el conjunto de generadores de W no se puede descomponer en dos conjuntos conmutadores no vacíos, entonces G es simple siempre que sea un grupo perfecto . En la práctica, todas estas condiciones, excepto que G sea perfecta, son fáciles de comprobar. Comprobar que G es perfecto requiere algunos cálculos un poco complicados (y de hecho hay algunos pequeños grupos de tipo Lie que no son perfectos). Pero demostrar que un grupo es perfecto suele ser mucho más fácil que demostrar que es simple.

Citas

1. Abramenko y Brown 2008, pág. 319, Teorema 6.5.6(1).
2. Borel 1991, pag. 236, teorema 21.15.
3. Bourbaki 1981, pag. 25, Teorema 1.
4. Bourbaki 1981, pag. 29, Teorema 4(iv).
5. Bourbaki 1981, pag. 27, Teorema 3.
6. Bourbaki 1981, pag. 29, Teorema 4.

Referencias

• Abramenko, Pedro; Marrón, Kenneth S. (2008). Edificios. Teoría y Aplicaciones . Saltador. ISBN 978-0-387-78834-0. SEÑOR  2439729. Zbl  1214.20033.La sección 6.2.6 analiza los pares BN.
• Borel, Armand (1991) [1969], Grupos algebraicos lineales , Textos de Graduado en Matemáticas, vol. 126 (2ª ed.), Nueva York: Springer Nature , doi :10.1007/978-1-4612-0941-6, ISBN 0-387-97370-2, SEÑOR  1102012
• Bourbaki, Nicolás (1981). Grupos de mentiras y álgebras de mentiras: capítulos 4 a 6 . Elementos de Matemáticas (en francés). Hermann. ISBN 2-225-76076-4. Señor  0240238. Zbl  0483.22001. El Capítulo IV, § 2 es la referencia estándar para los pares BN.
• Bourbaki, Nicolás (2002). Grupos de mentiras y álgebras de mentiras: capítulos 4 a 6 . Elementos de las Matemáticas. Saltador. ISBN 3-540-42650-7. SEÑOR  1890629. Zbl  0983.17001.
• Serre, Jean-Pierre (2003). Árboles . Saltador. ISBN 3-540-44237-5. Zbl  1013.20001.