Paraproducto

En matemáticas , un paraproducto es un operador bilineal no conmutativo que actúa sobre funciones que, en cierto sentido, es como el producto de las dos funciones sobre las que actúa. Según Svante Janson y Jaak Peetre, en un artículo de 1988, ^[1] "el nombre 'paraproducto' denota una idea más que una definición única; existen varias versiones que pueden utilizarse para los mismos fines". El concepto surgió en la teoría de los operadores paradiferenciales de J.-M. Bony . ^[2]

Dicho esto, para que un operador dado se defina como paraproducto, normalmente se requiere que satisfaga las siguientes propiedades: ${\displaystyle \Lambda }$

• Debería "reconstruir el producto" en el sentido de que para cualquier par de funciones en su dominio, ${\displaystyle (f,g)}$

${\displaystyle fg=\Lambda (f,g)+\Lambda (g,f).}$

• Para cualquier función apropiada y con , es el caso que . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h(0)=0}$ ${\displaystyle h(f)=\Lambda (f,h'(f))}$
• Debería satisfacer alguna forma de la regla de Leibniz .

También puede requerirse un paraproducto para satisfacer alguna forma de la desigualdad de Hölder .

Notas

1. Svante Janson y Jaak Peetre, "Paraconmutadores: acotación y propiedades de Schatten-Von Neumann", Transactions of the American Mathematical Society , vol. 305, n.º 2 (febrero de 1988), págs. 467-504.
2. Hueso, J.-M. (1981). "Cálculo simbólico y propagación de singularidades para las ecuaciones aux derivadas partielles no lineales". Ana. Ciencia. CE. Norma. Súper . 14 (2): 209–246. doi : 10.24033/asens.1404 .

Referencias adicionales

• Árpád Bényi, Diego Maldonado y Virginia Naibo, "¿Qué es un paraproducto?", Notices of the American Mathematical Society , vol. 57, núm. 7 (agosto de 2010), págs. 858–860.