Paraestadística

Noción en mecánica estadística

En mecánica cuántica y mecánica estadística , la paraestadística es una alternativa hipotética ^[1] a los modelos estadísticos de partículas establecidos ( estadística de Bose-Einstein , estadística de Fermi-Dirac y estadística de Maxwell-Boltzmann ). Otras alternativas incluyen la estadística aniónica y la estadística de trenzado , ambas implicando dimensiones espacio-temporales menores. A Herbert S. Green ^[2] se le atribuye la creación de la paraestadística en 1953. ^{[3] [4]} Las partículas predichas por la paraestadística no han sido observadas experimentalmente.

Formalismo

Consideremos el álgebra de operadores de un sistema de N partículas idénticas. Esta es una *-álgebra . Hay un grupo S _N ( grupo simétrico de orden N ) que actúa sobre el álgebra de operadores con la interpretación pretendida de permutar las N partículas. La mecánica cuántica requiere centrarse en observables que tengan un significado físico, y los observables tendrían que ser invariantes bajo todas las permutaciones posibles de las N partículas. Por ejemplo, en el caso N  = 2, R ₂  −  R ₁ no puede ser un observable porque cambia de signo si intercambiamos las dos partículas, pero la distancia | R ₂  −  R ₁ | entre las dos partículas es un observable legítimo.

En otras palabras, el álgebra observable tendría que ser una subálgebra * -invariante bajo la acción de S _N (observando que esto no significa que cada elemento del álgebra de operadores invariante bajo S _N sea un observable). Esto permite diferentes sectores de superselección , cada uno parametrizado por un diagrama de Young de S _N .

En particular:

• Para N parabosones idénticos de orden p (donde p es un entero positivo), los diagramas de Young permisibles son todos aquellos con p o menos filas.
• Para N parafermiones idénticos de orden p , los diagramas de Young permisibles son todos aquellos con p o menos columnas.
• Si p es 1, esto se reduce a las estadísticas de Bose-Einstein y Fermi-Dirac respectivamente ^{[ aclaración necesaria ]} .
• Si p es arbitrariamente grande (infinito), esto se reduce a las estadísticas de Maxwell-Boltzmann.

Relaciones trilineales

Existen operadores de creación y aniquilación que satisfacen las relaciones de conmutación trilineal ^[3]

${\displaystyle {\big [}a_{k},[a_{l}^{\dagger },a_{m}]_{\pm }{\big ]}_{-}=[a_{k},a_{l}^{\dagger }]_{\mp }a_{m}\pm a_{l}^{\dagger }[a_{k},a_{m}]_{\mp }\pm [a_{k},a_{m}]_{\mp }a_{l}^{\dagger }+a_{m}[a_{k},a_{l}^{\dagger }]_{\mp }=2\delta _{kl}a_{m},}$

${\displaystyle {\big [}a_{k},[a_{l}^{\dagger },a_{m}^{\dagger }]_{\pm }{\big ]}_{-}=[a_{k},a_{l}^{\dagger }]_{\mp }a_{m}^{\dagger }\pm a_{l}^{\dagger }[a_{k},a_{m}^{\dagger }]_{\mp }\pm [a_{k},a_{m}^{\dagger }]_{\mp }a_{l}^{\dagger }+a_{m}^{\dagger }[a_{k},a_{l}^{\dagger }]_{\mp }=2\delta _{kl}a_{m}^{\dagger }\pm 2\delta _{km}a_{l}^{\dagger },}$

${\displaystyle {\big [}a_{k},[a_{l},a_{m}]_{\pm }{\big ]}_{-}=[a_{k},a_{l}]_{\mp }a_{m}\pm a_{l}[a_{k},a_{m}]_{\mp }\pm [a_{k},a_{m}]_{\mp }a_{l}+a_{m}[a_{k},a_{l}]_{\mp }=0.}$

Teoría cuántica de campos

Un campo de parabosones de orden p , , donde si x e y son puntos separados por espacios , y si , donde [⋅, ⋅] es el conmutador , y {⋅, ⋅} es el anticonmutador . Nótese que esto no concuerda con el teorema de estadística de espín , que es para bosones y no parabosones. Podría haber un grupo como el grupo simétrico S _p actuando sobre los φ ^{( i )} s. Los observables tendrían que ser operadores que sean invariantes bajo el grupo en cuestión. Sin embargo, la existencia de tal simetría no es esencial. ${\textstyle \phi (x)=\sum _{i=1}^{p}\phi ^{(i)}(x)}$ ${\displaystyle [\phi ^{(i)}(x),\phi ^{(i)}(y)]=0}$ ${\displaystyle \{\phi ^{(i)}(x),\phi ^{(j)}(y)\}=0}$ ${\displaystyle i\neq j}$

Un campo de parafermiones de orden p , donde si x e y son puntos separados por un espacio , y si . El mismo comentario sobre los observables se aplicaría junto con el requisito de que tengan una gradación par bajo la gradación donde los ψ tienen una gradación impar. ${\textstyle \psi (x)=\sum _{i=1}^{p}\psi ^{(i)}(x)}$ ${\displaystyle \{\psi ^{(i)}(x),\psi ^{(i)}(y)\}=0}$ ${\displaystyle [\psi ^{(i)}(x),\psi ^{(j)}(y)]=0}$ ${\displaystyle i\neq j}$

Las álgebras parafermiónicas y parabosónicas son generadas por elementos que obedecen a las relaciones de conmutación y anticonmutación. Generalizan el álgebra fermiónica habitual y el álgebra bosónica de la mecánica cuántica. ^[5] El álgebra de Dirac y el álgebra de Duffin–Kemmer–Petiau aparecen como casos especiales del álgebra parafermiónica para orden p  = 1 y p  = 2 respectivamente. ^[6]

Explicación

Nótese que si x e y son puntos separados espacialmente, φ ( x ) y φ ( y ) no conmutan ni anticonmutan a menos que p  = 1. El mismo comentario se aplica a ψ ( x ) y ψ ( y ). Entonces, si tenemos n puntos separados espacialmente x ₁ , ..., x _n ,

${\displaystyle \phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})|\Omega \rangle }$

corresponde a la creación de n parabosones idénticos en x ₁ , ..., x _n . De manera similar,

${\displaystyle \psi (x_{1})\cdots \psi (x_{n})|\Omega \rangle }$

corresponde a la creación de n parafermiones idénticos. Como estos campos no conmutan ni anticonmutan,

${\displaystyle \phi (x_{\pi (1)})\cdots \phi (x_{\pi (n)})|\Omega \rangle }$

y

${\displaystyle \psi (x_{\pi (1)})\cdots \psi (x_{\pi (n)})|\Omega \rangle }$

dar estados distintos para cada permutación π en S n .

Podemos definir un operador de permutación mediante ${\displaystyle {\mathcal {E}}(\pi )}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}(\pi ){\big [}\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})|\Omega \rangle {\big ]}=\phi (x_{\pi ^{-1}(1)})\cdots \phi (x_{\pi ^{-1}(n)})|\Omega \rangle }$

y

${\displaystyle {\mathcal {E}}(\pi ){\big [}\psi (x_{1})\cdots \psi (x_{n})|\Omega \rangle {\big ]}=\psi (x_{\pi ^{-1}(1)})\cdots \psi (x_{\pi ^{-1}(n)})|\Omega \rangle }$

respectivamente. Se puede demostrar que esto está bien definido siempre que solo esté restringido a los estados abarcados por los vectores dados anteriormente (esencialmente los estados con n partículas idénticas). También es unitario . Además, es una representación con valor de operador del grupo simétrico S _n y, como tal, podemos interpretarlo como la acción de S _n sobre el propio espacio de Hilbert de n partículas, convirtiéndolo en una representación unitaria . ${\displaystyle {\mathcal {E}}(\pi )}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

Véase también

• Transformación de Klein sobre cómo convertir entre paraestadística y las estadísticas más convencionales. ^[1]

Referencias

1. Baker, David John; Halvorson, Hans; Swanson, Noel (1 de diciembre de 2015). "La convencionalidad de la paraestadística". The British Journal for the Philosophy of Science . 66 (4). Universidad de Pittsburgh: 929–976. doi :10.1093/bjps/axu018 . Consultado el 17 de marzo de 2024 .
2. "Herbert Sydney (Bert) Green". Archivado desde el original el 18 de abril de 2012. Consultado el 30 de octubre de 2011 .
3. HS Green, "Un método generalizado de cuantificación de campo", Phys. Rev. 90, 270–273 (1953).
4. Cattani, M.; Bassalo, JMF (2009). "Estadística intermedia, paraestadística, estadística fraccionaria y estadística gentiliónica". arXiv : 0903.4773 [cond-mat.stat-mech].
5. K. Kanakoglou, C. Daskaloyannis: Capítulo 18 Bosonización y paraestadística, pág. 207 y siguientes, en: Sergei D. Silvestrov, Eugen Paal, Viktor Abramov, Alexander Stolin (eds.): Teoría de Lie generalizada en matemáticas, física y más allá , 2008, ISBN 978-3-540-85331-2 . 
6. Véanse las citas en Plyushchay, Mikhail S.; Michel Rausch de Traubenberg (2000). "Raíz cúbica de la ecuación de Klein–Gordon". Physics Letters B . 477 (2000): 276–284. arXiv : hep-th/0001067 . Código Bibliográfico :2000PhLB..477..276P. doi :10.1016/S0370-2693(00)00190-8. S2CID  16600516.