Todos los caballos son del mismo color es una paradoja falsa que surge de un uso defectuoso de la inducción matemática para probar la afirmación Todos los caballos son del mismo color . [1] No existe ninguna contradicción real, ya que estos argumentos tienen un defecto crucial que los hace incorrectos. Este ejemplo fue planteado originalmente por George Pólya en un libro de 1954 en términos diferentes: "¿Son iguales n números?" o "Cualquier n niñas tiene ojos del mismo color", como ejercicio de inducción matemática. [2] También se ha reformulado como "Todas las vacas tienen el mismo color". [3]
La versión de los "caballos" de la paradoja fue presentada en 1961 en un artículo satírico de Joel E. Cohen . Se planteó como un lema que, en particular, permitió al autor "probar" que Alejandro Magno no existió y que tenía un número infinito de miembros. [4]
El argumento es prueba por inducción . Primero, establecemos un caso base para un caballo ( ). Luego demostramos que si los caballos tienen el mismo color, entonces los caballos también deben tener el mismo color.
El caso de un solo caballo es trivial. Si sólo hay un caballo en el "grupo", entonces claramente todos los caballos de ese grupo tienen el mismo color.
Supongamos que los caballos siempre son del mismo color. Considere un grupo formado por caballos.
Primero, excluya un caballo y mire sólo los otros caballos; todos estos son del mismo color, ya que los caballos siempre son del mismo color. Del mismo modo, excluya algún otro caballo (que no sea idéntico al que se eliminó primero) y observe solo los otros caballos. Por el mismo razonamiento, también éstos deben ser del mismo color. Por lo tanto, el primer caballo que fue excluido es del mismo color que los caballos no excluidos, quienes a su vez son del mismo color que el otro caballo excluido. Por tanto, el primer caballo excluido, los caballos no excluidos y el último caballo excluido son todos del mismo color, y hemos demostrado que:
Ya vimos en el caso base que la regla ("todos los caballos tienen el mismo color") era válida para . El paso inductivo demostrado aquí implica que dado que la regla es válida para , también debe ser válida para , lo que a su vez implica que la regla es válida para y así sucesivamente.
Así, en cualquier grupo de caballos, todos los caballos deben ser del mismo color. [2] [5]
El argumento anterior supone implícitamente que el conjunto de caballos tiene un tamaño de al menos 3, [3] de modo que los dos subconjuntos adecuados de caballos a los que se aplica el supuesto de inducción necesariamente compartirían un elemento común. Esto no es cierto en el primer paso de la inducción, es decir, cuando .
Sean los dos caballos el caballo A y el caballo B. Cuando se elimina el caballo A, es cierto que los caballos restantes en el conjunto son del mismo color (solo queda el caballo B). Lo mismo ocurre cuando se elimina el caballo B. Sin embargo, la afirmación "el primer caballo que fue excluido es del mismo color que los caballos no excluidos, quienes a su vez son del mismo color que el otro caballo excluido" no tiene sentido, porque no existen "caballos no excluidos". (elementos comunes (caballos) en los dos conjuntos, ya que cada caballo se excluye una vez). Por lo tanto, la prueba anterior tiene un vínculo lógico roto. La prueba constituye una paradoja falsa ; parece mostrar mediante un razonamiento válido algo que es manifiestamente falso, pero en realidad el razonamiento es erróneo.
