Trayectoria parabólica

Tipo de órbita

La trayectoria verde en esta imagen es un ejemplo de trayectoria parabólica.

En el cuadrante inferior izquierdo de este diagrama se representa una trayectoria parabólica, donde el pozo de potencial gravitatorio de la masa central muestra la energía potencial y la energía cinética de la trayectoria parabólica se muestra en rojo. La altura de la energía cinética disminuye asintóticamente hacia cero a medida que disminuye la velocidad y aumenta la distancia de acuerdo con las leyes de Kepler.

En astrodinámica o mecánica celeste, una trayectoria parabólica es una órbita de Kepler con una excentricidad igual a 1 y es una órbita no limitada que se encuentra exactamente en el límite entre la elíptica y la hiperbólica. Cuando se aleja de la fuente se denomina órbita de escape , o órbita de captura . También se la denomina a veces órbita C ₃  = 0 (véase Energía característica ).

Según los supuestos estándar, un cuerpo que viaja a lo largo de una órbita de escape seguirá una trayectoria parabólica hasta el infinito, con una velocidad relativa al cuerpo central que tiende a cero y, por lo tanto, nunca regresará. Las trayectorias parabólicas son trayectorias de escape de energía mínima, que separan las trayectorias hiperbólicas de energía positiva de las órbitas elípticas de energía negativa .

Velocidad

La velocidad orbital ( ) de un cuerpo que viaja a lo largo de una trayectoria parabólica se puede calcular como: ${\displaystyle v}$

${\displaystyle v={\sqrt {2\mu \over r}}}$

dónde:

• ${\displaystyle r}$es la distancia radial del cuerpo en órbita desde el cuerpo central ,
• ${\displaystyle \mu }$es el parámetro gravitacional estándar .

En cualquier posición, el cuerpo en órbita tiene la velocidad de escape para esa posición.

Si un cuerpo tiene una velocidad de escape con respecto a la Tierra, ésta no es suficiente para escapar del Sistema Solar, por lo que cerca de la Tierra la órbita se asemeja a una parábola, pero más lejos se curva en una órbita elíptica alrededor del Sol.

Esta velocidad ( ) está estrechamente relacionada con la velocidad orbital de un cuerpo en una órbita circular de radio igual a la posición radial del cuerpo en órbita en la trayectoria parabólica: ${\displaystyle v}$

${\displaystyle v={\sqrt {2}}\,v_{o}}$

dónde:

• ${\displaystyle v_{o}}$es la velocidad orbital de un cuerpo en órbita circular .

Ecuación de movimiento

Para un cuerpo que se mueve a lo largo de este tipo de trayectoria, la ecuación orbital es:

${\displaystyle r={h^{2} \over \mu }{1 \over {1+\cos \nu }}}$

dónde:

• ${\displaystyle r\,}$es la distancia radial del cuerpo en órbita desde el cuerpo central ,
• ${\displaystyle h\,}$es el momento angular específico del cuerpo en órbita ,
• ${\displaystyle \nu \,}$es la verdadera anomalía del cuerpo en órbita,
• ${\displaystyle \mu \,}$es el parámetro gravitacional estándar .

Energía

Según los supuestos estándar, la energía orbital específica ( ) de una trayectoria parabólica es cero, por lo que la ecuación de conservación de la energía orbital para esta trayectoria toma la forma: ${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle \epsilon ={v^{2} \over 2}-{\mu \over r}=0}$

dónde:

• ${\displaystyle v\,}$es la velocidad orbital del cuerpo en órbita,
• ${\displaystyle r\,}$es la distancia radial del cuerpo en órbita desde el cuerpo central ,
• ${\displaystyle \mu \,}$es el parámetro gravitacional estándar .

Esto es completamente equivalente a que la energía característica (cuadrado de la velocidad en el infinito) sea 0:

${\displaystyle C_{3}=0}$

Ecuación de Barker

La ecuación de Barker relaciona el tiempo de vuelo con la anomalía real de una trayectoria parabólica: ^[1] ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle t-T={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {p^{3}}{\mu }}}\left(D+{\frac {1}{3}}D^{3}\right)}$

dónde:

• ${\displaystyle D=\tan {\frac {\nu }{2}}}$es una variable auxiliar
• ${\displaystyle T}$es el momento del paso del periapsis
• ${\displaystyle \mu }$es el parámetro gravitacional estándar
• ${\displaystyle p}$es el semi-lato recto de la trayectoria ( ) ${\displaystyle p=h^{2}/\mu }$

De manera más general, el tiempo (época) entre dos puntos cualesquiera en una órbita es

${\displaystyle t_{f}-t_{0}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {p^{3}}{\mu }}}\left(D_{f}+{\frac {1}{3}}D_{f}^{3}-D_{0}-{\frac {1}{3}}D_{0}^{3}\right)}$

Alternativamente, la ecuación puede expresarse en términos de distancia de periapsis, en una órbita parabólica : ${\displaystyle r_{p}=p/2}$

${\displaystyle t-T={\sqrt {\frac {2r_{p}^{3}}{\mu }}}\left(D+{\frac {1}{3}}D^{3}\right)}$

A diferencia de la ecuación de Kepler , que se utiliza para resolver anomalías verdaderas en trayectorias elípticas e hiperbólicas, la anomalía verdadera en la ecuación de Barker se puede resolver directamente para . Si se realizan las siguientes sustituciones ${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {3}{2}}{\sqrt {\frac {\mu }{2r_{p}^{3}}}}(t-T)\\[3pt]B&={\sqrt[{3}]{A+{\sqrt {A^{2}+1}}}}\end{aligned}}}$

entonces

${\displaystyle \nu =2\arctan \left(B-{\frac {1}{B}}\right)}$

Con funciones hiperbólicas la solución también se puede expresar como: ^[2]

${\displaystyle \nu =2\arctan \left(2\sinh {\frac {\mathrm {arcsinh} {\frac {3M}{2}}}{3}}\right)}$

dónde

${\displaystyle M={\sqrt {\frac {\mu }{2r_{p}^{3}}}}(t-T)}$

Trayectoria parabólica radial

Una trayectoria parabólica radial es una trayectoria no periódica en línea recta donde la velocidad relativa de los dos objetos es siempre la velocidad de escape . Existen dos casos: los cuerpos se alejan uno del otro o se acercan.

Hay una expresión bastante simple para la posición en función del tiempo:

${\displaystyle r={\sqrt[{3}]{{\frac {9}{2}}\mu t^{2}}}}$

dónde

• μ es el parámetro gravitacional estándar
• ${\displaystyle t=0\!\,}$corresponde al tiempo extrapolado del inicio o final ficticio en el centro del cuerpo central.

En cualquier momento la velocidad media es 1,5 veces la velocidad actual, es decir, 1,5 veces la velocidad de escape local. ${\displaystyle t=0\!\,}$

Para tenerlo en la superficie, se aplica un cambio de tiempo; para la Tierra (y cualquier otro cuerpo esférico simétrico con la misma densidad promedio) como cuerpo central, este cambio de tiempo es de 6 minutos y 20 segundos; siete de estos períodos después, la altura sobre la superficie es tres veces el radio, etc. ${\displaystyle t=0\!\,}$

Véase también

• Órbita de Kepler
• Parábola

Referencias

1. Bate, Roger; Mueller, Donald; White, Jerry (1971). Fundamentos de la astrodinámica . Dover Publications, Inc., Nueva York. ISBN 0-486-60061-0.pág. 188
2. Zechmeister, Mathias (2020). "Resolución de la ecuación de Kepler con iteraciones dobles de CORDIC". MNRAS . 500 (1): 109–117. arXiv : 2008.02894 . Código Bibliográfico :2021MNRAS.500..109Z. doi : 10.1093/mnras/staa2441 .Ecuación (40) y Apéndice C.