La espiral de Fermat

Espiral de Fermat: a>0, una rama $r=+a{\sqrt {\varphi }}$

Una espiral de Fermat o espiral parabólica es una curva plana con la propiedad de que el área entre dos vueltas completas consecutivas alrededor de la espiral es invariante. Como resultado, la distancia entre las vueltas crece en proporción inversa a su distancia desde el centro de la espiral, en contraste con la espiral de Arquímedes (para la cual esta distancia es invariante) y la espiral logarítmica (para la cual la distancia entre las vueltas es proporcional a la distancia desde el centro). Las espirales de Fermat reciben su nombre de Pierre de Fermat . ^[1]

Sus aplicaciones incluyen la mezcla continua de curvaturas, ^[1] el modelado del crecimiento de las plantas y las formas de ciertas galaxias espirales , y el diseño de condensadores variables , conjuntos de reflectores de energía solar y ciclotrones .

Representación de coordenadas

Polar

La representación de la espiral de Fermat en coordenadas polares $(r, φ)$ viene dada por la ecuación para $φ$ $\geq 0$ . $r=\pm a{\sqrt {\varphi }}$

Las dos opciones de signo dan las dos ramas de la espiral, que se encuentran suavemente en el origen. Si las mismas variables se reinterpretaran como coordenadas cartesianas , ésta sería la ecuación de una parábola con eje horizontal, que a su vez tiene dos ramas por encima y por debajo del eje, que se encuentran en el origen.

cartesiano

La espiral de Fermat con ecuación polar se puede convertir a coordenadas cartesianas $($ $x$ $,$ $y$ $)$ utilizando las fórmulas de conversión estándar $x$ $=$ $r$ $cos$ $φ$ e $y$ $=$ $r$ $sen$ $φ$ . Si se utiliza la ecuación polar de la espiral para eliminar $r$ de estas conversiones, se obtienen ecuaciones paramétricas para una rama de la curva: $r=\pm a{\sqrt {\varphi }}$

{\begin{casos}x(\varphi )=+a{\sqrt {\varphi }}\cos(\varphi )\\y(\varphi )=+a{\sqrt {\varphi }}\ pecado(\varphi )\end{casos}}

y el segundo

{\begin{casos}x(\varphi )=-a{\sqrt {\varphi }}\cos(\varphi )\\y(\varphi )=-a{\sqrt {\varphi }}\ pecado(\varphi )\end{casos}}

Generan los puntos de las ramas de la curva a medida que el parámetro $φ$ varía sobre los números reales positivos.

Para cualquier $(x, y)$ generada de esta manera, dividir $x$ por $y$ cancela las partes $a \sqrt φ$ de las ecuaciones paramétricas, dejando la ecuación más simple $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠incógnita/y⁠ = cot φ$ . De esta ecuación, sustituyendo $φ$ por $φ = ⁠ r2 / un 2 ($ una forma reordenada de la ecuación polar para la espiral) y luego sustituyendo $r$ por $r = \sqrt x 2 + y 2$ (la conversión de cartesiano a polar) deja una ecuación para la espiral de Fermat en términos de solo $x$ e $y$ : Debido a que el signo de $a$ se pierde cuando se eleva al cuadrado, esta ecuación cubre ambas ramas de la curva. ${\frac {x}{y}}=\cot \left({\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}}}\right).$

Propiedades geométricas

Una espiral de Fermat divide el plano en dos regiones conectadas y congruentes (diagrama: blanco y negro)

División del plano

Una espiral de Fermat completa (ambas ramas) es una curva suave de doble punto libre, en contraste con la espiral de Arquímedes y la espiral hiperbólica . Como una línea, un círculo o una parábola, divide el plano en dos regiones conectadas.

Pendiente polar

Del cálculo vectorial en coordenadas polares se obtiene la fórmula

\tan \alpha ={\frac {r'}{r}}

para la pendiente polar y su ángulo $α$ entre la tangente de una curva y el círculo polar correspondiente (ver diagrama).

Para la espiral de Fermat $r = a \sqrt φ$ se obtiene

\tan \alpha ={\frac {1}{2\varphi }}.

Por lo tanto, el ángulo de pendiente disminuye monótonamente.

Curvatura

De la fórmula

\kappa ={\frac {r^{2}+2(r')^{2}-r\,r''}{\left(r^{2}+(r')^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}

para la curvatura de una curva con ecuación polar $r = r (φ)$ y sus derivadas

{\begin{aligned}r'&={\frac {a}{2{\sqrt {\varphi }}}}={\frac {a^{2}}{2r}}\\r''&=-{\frac {a}{4{\sqrt {\varphi }}^{3}}}=-{\frac {a^{4}}{4r^{3}}}\end{aligned}}

Se obtiene la curvatura de una espiral de Fermat: $\kappa (r)={\frac {2r\left(4r^{4}+3a^{4}\right)}{\left(4r^{4}+a^{4}\right)^{\frac {3}{2}}}}.$

En el origen la curvatura es 0. Por lo tanto la curva completa tiene en el origen un punto de inflexión y el eje $x$ es su tangente allí.

Área entre arcos

El área de un sector de la espiral de Fermat entre dos puntos $(r (φ 1), φ 1)$ y $(r (φ 2), φ 2)$ es

{\begin{aligned}{\underline {A}}&={\frac {1}{2}}\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}r(\varphi )^{2}\,d\varphi \\&={\frac {1}{2}}\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}a^{2}\varphi \,d\varphi \\&={\frac {a^{2}}{4}}\left(\varphi _{2}^{2}-\varphi _{1}^{2}\right)\\&={\frac {a^{2}}{4}}\left(\varphi _{2}+\varphi _{1}\right)\left(\varphi _{2}-\varphi _{1}\right).\end{aligned}}

Espiral de Fermat: área entre arcos vecinos

Después de elevar ambos ángulos en $2 π$ se obtiene

{\overline {A}}={\frac {a^{2}}{4}}\left(\varphi _{2}+\varphi _{1}+4\pi \right)\left(\varphi _{2}-\varphi _{1}\right)={\underline {A}}+a^{2}\pi \left(\varphi _{2}-\varphi _{1}\right).

Por lo tanto, el área $A$ de la región entre dos arcos vecinos es $A$ sólo depende de la diferencia de los dos ángulos, no de los ángulos en sí. $A=a^{2}\pi \left(\varphi _{2}-\varphi _{1}\right).$

Para el ejemplo que se muestra en el diagrama, todas las franjas vecinas tienen la misma área: $A 1 = A 2 = A 3$ .

Esta propiedad se utiliza en ingeniería eléctrica para la construcción de condensadores variables . ^[2]

Caso especial debido a Fermat

En 1636, Fermat escribió una carta ^[3] a Marin Mersenne que contiene el siguiente caso especial:

Sea $φ 1 = 0, φ 2 = 2 π$ ; entonces el área de la región negra (ver diagrama) es $A 0 = a 2 π 2$ , que es la mitad del área del círculo $K 0$ con radio $r (2 π)$ . Las regiones entre curvas vecinas (blanca, azul, amarilla) tienen la misma área $A = 2 a 2 π 2$ . Por lo tanto:

El área entre dos arcos de la espiral después de una vuelta completa es igual al área del círculo $K 0$ .

Longitud del arco

La longitud del arco de la espiral de Fermat entre dos puntos $(r (φ i), φ i)$ se puede calcular mediante la integral :

${\begin{aligned}L&=\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\sqrt {\left(r^{\prime }(\varphi )\right)^{2}+r^{2}(\varphi )}}\,d\varphi \\&={\frac {a}{2}}\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\sqrt {{\frac {1}{\varphi }}+4\varphi }}\,d\varphi .\end{aligned}}$

Esta integral conduce a una integral elíptica , que puede resolverse numéricamente.

La longitud del arco de la rama positiva de la espiral de Fermat desde el origen también se puede definir mediante las funciones hipergeométricas $2 F 1 (a, b; c; z)$ y la función beta incompleta $B(z; a, b)$ : ^[4]

${\begin{aligned}L&=a\cdot {\sqrt {\varphi }}\cdot \operatorname {_{2}F_{1}} \left(-{\tfrac {1}{2}},\,{\tfrac {1}{4}};\,{\tfrac {5}{4}};\,-4\cdot \varphi ^{2}\right)\\&=a\cdot {\frac {1-i}{8}}\cdot \operatorname {B} \left(-4\cdot \varphi ^{2};\,{\tfrac {1}{4}},\,{\tfrac {3}{2}}\right)\\\end{aligned}}$

La inversión de la espiral de Fermat (verde) es un lituus (azul)

Inversión del círculo

La inversión en el círculo unitario tiene en coordenadas polares la descripción simple $(r, φ) \mapsto (⁠ 1 / a ⁠, φ)$ .

La imagen de la espiral de Fermat $r = a \sqrt φ$ bajo la inversión en el círculo unitario es una espiral lituus con ecuación polar Cuando $φ$ $=$ $⁠$ $r={\frac {1}{a{\sqrt {\varphi }}}}.$ $1 / un 2 ⁠$ , ambas curvas se intersecan en un punto fijo en el círculo unitario.
La tangente ( eje $x$ ) en el punto de inflexión (origen) de la espiral de Fermat se proyecta sobre sí misma y es la línea asintótica de la espiral de Litius.

La proporción áurea y el ángulo áureo

En la filotaxis de disco , como en el girasol y la margarita, la malla de espirales se produce en números de Fibonacci porque la divergencia (ángulo de sucesión en una disposición espiral única) se acerca a la proporción áurea . La forma de las espirales depende del crecimiento de los elementos generados secuencialmente. En la filotaxis de disco maduro , cuando todos los elementos tienen el mismo tamaño, la forma de las espirales es la de las espirales de Fermat, idealmente. Esto se debe a que la espiral de Fermat atraviesa anillos iguales en vueltas iguales. El modelo completo propuesto por H. Vogel en 1979 ^[5] es

${\begin{aligned}r&=c{\sqrt {n}},\\\theta &=n\times 137.508^{\circ },\end{aligned}}$

donde $θ$ es el ángulo, $r$ es el radio o la distancia desde el centro, $n$ es el número índice del flósculo y $c$ es un factor de escala constante. El ángulo 137,508° es el ángulo áureo que se aproxima mediante proporciones de números de Fibonacci . ^[6]

Patrón de floretes producido por el modelo de Vogel (imagen central). Las otras dos imágenes muestran los patrones para valores de ángulo ligeramente diferentes.

El patrón espiral resultante de los discos unitarios debe distinguirse de las espirales de Doyle , patrones formados por discos tangentes de radios geométricamente crecientes colocados sobre espirales logarítmicas .

Plantas solares

También se ha descubierto que la espiral de Fermat es un diseño eficiente para los espejos de las plantas de energía solar concentrada . ^[7]

Véase también

Referencias

^ ab Lekkas, Anastasios M.; Dahl, Andreas R.; Breivik, Morten; Fossen, Thor I. (2013). "Generación de trayectorias de curvatura continua utilizando la espiral de Fermat" (PDF) . Modelado, identificación y control . 34 (4): 183–198. ISSN 1890-1328. Archivado desde el original (PDF) el 28 de octubre de 2020.
^ Wicke, Fritz (2013). Einführung in die höhere Mathematik . Springer-Verlag. pag. 414.ISBN 978-3-662-36804-6.
^ Curtiduría, Paul (ed.). "Lettre de Fermat à Mersenne du 3 de junio de 1636". Obras de Fermat . vol. 3. pág. 277.
^ Weisstein, Eric W. "La espiral de Fermat". MathWorld . Consultado el 4 de febrero de 2023 .
^ Vogel, H. (1979). "Una mejor manera de construir la cabeza del girasol". Ciencias biológicas matemáticas . 44 (3–4): 179–189. doi :10.1016/0025-5564(79)90080-4.
^ Prusinkiewicz, Przemyslaw ; Lindenmayer, Aristid (1990). La belleza algorítmica de las plantas. Springer-Verlag. pp. 101–107. ISBN 978-0-387-97297-8.
^ Noone, Corey J.; Torrilhon, Manuel; Mitsos, Alexander (diciembre de 2011). "Optimización del campo de helióstatos: un nuevo modelo computacionalmente eficiente y un diseño biomimético". Energía solar . 86 (2): 792–803. doi :10.1016/j.solener.2011.12.007.

Lectura adicional

Lawrence, J. Dennis (1972). Catálogo de curvas planas especiales . Dover Publications. pp. 31, 186. ISBN. 0-486-60288-5.

Enlaces externos

"Espiral de Fermat". Enciclopedia de Matemáticas . EMS Press . 2001 [1994].
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Las espirales naturales de Fermat, en sciencenews.org