Corchete (matemáticas)

Paréntesis tal como se utilizan en la notación matemática

En matemáticas , los corchetes de varias formas tipográficas, como los paréntesis ( ), los corchetes [ ], las llaves { } y los corchetes angulares ⟨ ⟩, se utilizan con frecuencia en la notación matemática . Generalmente, este tipo de corchetes denota alguna forma de agrupación: al evaluar una expresión que contiene una subexpresión entre corchetes, los operadores en la subexpresión tienen prioridad sobre los que la rodean. A veces, para mayor claridad de lectura, se utilizan diferentes tipos de corchetes para expresar el mismo significado de precedencia en una sola expresión con anidamiento profundo de subexpresiones. ^[1]

Históricamente, se utilizaban de forma similar otras notaciones, como el vinculum , para agrupar. En el uso actual, todas estas notaciones tienen significados específicos. El primer uso de corchetes para indicar agregación (es decir, agrupamiento) fue sugerido en 1608 por Christopher Clavius ​​y en 1629 por Albert Girard . ^[2]

Símbolos para representar corchetes angulares

Se utilizan distintos símbolos para representar los corchetes angulares. En los correos electrónicos y otros textos ASCII , es habitual utilizar los signos menor que ( <) y mayor que ( >) para representar los corchetes angulares, porque el ASCII no los incluye. ^[3]

Unicode tiene pares de caracteres dedicados; además de los símbolos menor que y mayor que, estos incluyen:

• U+27E8 ⟨ PARÉNTESIS ANGULAR IZQUIERDA MATEMÁTICA y U+27E9 ⟩ PARÉNTESIS ANGULAR REGULAR MATEMÁTICA
• U+29FC ⧼ SOPORTE ANGULAR CURVO QUE APUNTA A LA IZQUIERDA y U+29FD ⧽ SOPORTE ANGULAR CURVO QUE APUNTA A LA DERECHA
• U+2991 ⦑ SOPORTE ANGULAR IZQUIERDO CON PUNTO y U+2992 ⦒ SOPORTE ANGULAR DERECHO CON PUNTO
• U+27EA ⟪ PARÉNTESIS ANGULAR DOBLE IZQUIERDA MATEMÁTICA y U+27EB ⟫ PARÉNTESIS ANGULAR DOBLE DERECHA MATEMÁTICA
• U+2329 〈 SOPORTE ANGULAR QUE APUNTA A LA IZQUIERDA y U+232A〉SOPORTE ANGULAR QUE APUNTA A LA DERECHA , que están en desuso ^[4]

En LaTeX el marcado es \langley \rangle: . ${\displaystyle \langle \ \rangle }$

Los corchetes angulares no matemáticos incluyen:

• U+3008 〈 CORCHETE ANGULAR IZQUIERDO y U+3009〉CORCHETE ANGULAR RECTO , utilizados en citas de textos de Asia Oriental
• U+276C ❬ ADORNO DE SOPORTE ANGULAR MEDIANO QUE APUNTA A LA IZQUIERDA y U+276D ❭ ADORNO DE SOPORTE ANGULAR MEDIANO QUE APUNTA A LA DERECHA , que son dingbats

Hay dingbats adicionales con mayor grosor de línea, ^[5] muchas comillas angulares y caracteres obsoletos.

Álgebra

En álgebra elemental , los paréntesis ( ) se utilizan para especificar el orden de las operaciones . ^[1] Los términos dentro del corchete se evalúan primero; por lo tanto, 2×(3 + 4) es 14, 20 ÷ (5(1 + 1)) es 2 y (2×3) + 4 es 10. Esta notación se extiende para cubrir álgebra más general que involucra variables: por ejemplo ( x + y ) × ( x − y ) . Los corchetes también se utilizan a menudo en lugar de un segundo conjunto de paréntesis cuando están anidados, para proporcionar una distinción visual.

En las expresiones matemáticas en general, los paréntesis también se utilizan para indicar agrupación (es decir, qué partes van juntas) cuando es comestible para evitar ambigüedades y mejorar la claridad. Por ejemplo, en la fórmula , utilizada en la definición de composición de dos transformaciones naturales , los paréntesis alrededor sirven para indicar que la indexación por se aplica a la composición , y no solo a su último componente . ${\displaystyle (\varepsilon \eta )_{X}=\varepsilon _{Cod\,\eta _{X}}\eta _{X}}$ ${\displaystyle \varepsilon \eta }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varepsilon \eta }$ ${\displaystyle \eta }$

Funciones

Los argumentos de una función suelen estar rodeados de corchetes: . Con algunas funciones estándar, cuando hay pocas posibilidades de ambigüedad, es común omitir por completo los paréntesis alrededor del argumento (por ejemplo, ). Tenga en cuenta que esto nunca se hace con una función general , en cuyo caso los paréntesis siempre se incluyen. ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \sin x}$ ${\displaystyle f}$

Coordenadas y vectores

En el sistema de coordenadas cartesianas , se utilizan corchetes para especificar las coordenadas de un punto. Por ejemplo, (2,3) denota el punto con la coordenada x 2 y la coordenada y 3.

El producto interno de dos vectores se escribe comúnmente como , pero también se utiliza la notación ( a , b ). ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$

Intervalos

Tanto los paréntesis, ( ), como los corchetes, [ ], también se pueden utilizar para denotar un intervalo . La notación se utiliza para indicar un intervalo de a a c que incluye —pero excluye . Es decir, sería el conjunto de todos los números reales entre 5 y 12, incluido 5 pero no 12. Aquí, los números pueden acercarse tanto como quieran a 12, incluido 11,999 y así sucesivamente (con cualquier número finito de 9), pero 12,0 no está incluido. ${\displaystyle [a,c)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle [5,12)}$

En algunos países europeos, también se utiliza la notación para esto, y dondequiera que se use la coma como separador decimal , se puede usar el punto y coma como separador para evitar ambigüedad (por ejemplo, ). ^[6] ${\displaystyle [5,12[}$ ${\displaystyle (0;1)}$

El punto final que se une al corchete se conoce como cerrado , mientras que el punto final que se une al paréntesis se conoce como abierto . Si ambos tipos de corchetes son iguales, el intervalo completo puede denominarse cerrado o abierto según corresponda. Siempre que se utilice infinito o infinito negativo como punto final (en el caso de intervalos en la línea de números reales ), siempre se considera abierto y se une a un paréntesis. El punto final puede ser cerrado cuando se consideran intervalos en la línea de números reales extendida .

Una convención común en matemáticas discretas es definir como el conjunto de números enteros positivos menores o iguales a . Es decir, correspondería al conjunto . ${\displaystyle [n]}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle [5]}$ ${\displaystyle \{1,2,3,4,5\}}$

Conjuntos y grupos

Las llaves { } se utilizan para identificar los elementos de un conjunto . Por ejemplo, { a , b , c } denota un conjunto de tres elementos a , b y c .

Los corchetes angulares ⟨ ⟩ se utilizan en la teoría de grupos y en el álgebra conmutativa para especificar presentaciones de grupos y para denotar el subgrupo o ideal generado por una colección de elementos.

Matrices

Una matriz dada explícitamente se escribe comúnmente entre corchetes grandes:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&-1\\2&3\end{pmatrix}}\quad \quad {\begin{bmatrix}c&d\end{bmatrix}}}$

Derivados

La notación

${\displaystyle f^{(n)}(x)}$

representa la derivada n -ésima de la función f , aplicada al argumento x . Por ejemplo, si , entonces . Esto debe contrastarse con , la aplicación n -vez de f al argumento x . ${\displaystyle f(x)=\exp(\lambda x)}$ ${\displaystyle f^{(n)}(x)=\lambda ^{n}\exp(\lambda x)}$ ${\displaystyle f^{n}(x)=f(f(\ldots (f(x))\ldots ))}$

Factorial ascendente y descendente

La notación se utiliza para denotar el factorial descendente , un polinomio de grado n definido por ${\displaystyle (x)_{n}}$

${\displaystyle (x)_{n}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)={\frac {x!}{(x-n)!}}.}$

Alternativamente, se puede encontrar la misma notación para representar el factorial ascendente , también llamado " símbolo Pochhammer ". Otra notación para el mismo es . Puede definirse por ${\displaystyle x^{(n)}}$

${\displaystyle x^{(n)}=x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)={\frac {(x+n-1)!}{(x-1)!}}.}$

Mecánica cuántica

En mecánica cuántica , los corchetes angulares también se utilizan como parte del formalismo de Dirac , la notación bra–ket , para denotar vectores de los espacios duales de bra  y ket  . ${\displaystyle \left\langle A\right|}$ ${\displaystyle \left|B\right\rangle }$

En mecánica estadística , los corchetes angulares denotan promedio de conjunto o de tiempo.

Anillos polinomiales

Los corchetes se utilizan para contener las variables en anillos polinómicos . Por ejemplo, es el anillo de polinomios con coeficientes de números reales y variable . ^[7] ${\displaystyle \mathbb {R} [x]}$ ${\displaystyle x}$

Subanillo generado por un elemento o conjunto de elementos

Si A es un subanillo de un anillo B , y b es un elemento de B , entonces A [ b ] denota el subanillo de B generado por A y b . Este subanillo consta de todos los elementos que se pueden obtener, a partir de los elementos de A y b , mediante la adición y multiplicación repetidas; equivalentemente, es el subanillo más pequeño de B que contiene a A y b . Por ejemplo, es el subanillo más pequeño de C que contiene todos los números enteros y ; consta de todos los números de la forma , donde m y n son números enteros arbitrarios. Otro ejemplo: es el subanillo de Q que consta de todos los números racionales cuyo denominador es una potencia de 2 . ${\displaystyle \mathbf {Z} [{\sqrt {-2}}]}$ ${\displaystyle {\sqrt {-2}}}$ ${\displaystyle m+n{\sqrt {-2}}}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} [1/2]}$

De manera más general, si A es un subanillo de un anillo B , y , entonces denota el subanillo de B generado por A y . Aún más general, si S es un subconjunto de B , entonces A [ S ] es el subanillo de B generado por A y S . ${\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{n}\in B}$ ${\displaystyle A[b_{1},\ldots ,b_{n}]}$ ${\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{n}\in B}$

Soporte de Lie y conmutador

En teoría de grupos y teoría de anillos , se utilizan corchetes para indicar el conmutador . En teoría de grupos, el conmutador [ g , h ] se define comúnmente como g ⁻¹ h ⁻¹ gh . En teoría de anillos, el conmutador [ a , b ] se define como ab − ba . Además, se pueden utilizar llaves para indicar el anticonmutador : { a , b } se define como ab + ba .

El corchete de Lie de un álgebra de Lie es una operación binaria denotada por . Al utilizar el conmutador como corchete de Lie, toda álgebra asociativa se puede convertir en un álgebra de Lie. Existen muchas formas diferentes de corchete de Lie , en particular la derivada de Lie y el corchete de Jacobi-Lie . ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$

Funciones de suelo/techo y parte fraccionaria

Las funciones de piso y techo se escriben normalmente entre corchetes izquierdo y derecho, donde solo se muestran las barras horizontales inferiores (para la función de piso) o superiores (para la función de techo), como en ⌊π⌋ = 3 o ⌈π⌉ = 4 . Sin embargo, los corchetes, como en [ π ] = 3 , a veces se utilizan para indicar la función de piso , que redondea un número real hacia abajo al siguiente entero. Por el contrario, algunos autores utilizan corchetes que apuntan hacia afuera para indicar la función de techo, como en ]π[ = 4 .

Las llaves, como en {π} < ¹ / ₇ , pueden denotar la parte fraccionaria de un número real.

Véase también

• Coeficiente binomial
• Polinomio entre corchetes
• Notación de corchetes
• Delimitador
• Lenguaje Dyck
• Soporte Frölicher-Nijenhuis
• Soporte de Iverson
• Corchete de Nijenhuis-Richardson , también conocido como corchete algebraico .
• Símbolo del martillo perforador
• Soporte de Poisson
• Soporte Schouten–Nijenhuis

Notas

1. Russell, Deb. "Cuándo y dónde usar paréntesis, llaves y corchetes en matemáticas". ThoughtCo . Archivado desde el original el 8 de julio de 2017. Consultado el 9 de agosto de 2020 .
2. Cajori , Florian 1980. Una historia de las matemáticas . Nueva York: Chelsea Publishing, pág. 158
3. Raymond, Eric S. (1996), El nuevo diccionario del hacker, MIT Press, pág. 41, ISBN 9780262680929.
4. "Miscelánea Técnica" (PDF) . unicode.org.
5. "Dingbats". unicode.org . 2020-04-25 . Consultado el 2020-04-25 .
6. "Notación de intervalos | Wiki de Brilliant Math & Science". brilliant.org . Consultado el 9 de agosto de 2020 .
7. Stewart, Ian (1995). Conceptos de matemáticas modernas. Dover Publications. pág. 90. ISBN 9780486284248.