Bobina de Helmholtz

Dispositivo de dos bobinas circulares que crea un campo magnético homogéneo.

Una bobina de Helmholtz

Dibujo esquemático de la bobina de Helmholtz

Una bobina de Helmholtz es un dispositivo para producir una región de campo magnético casi uniforme , llamado así en honor al físico alemán Hermann von Helmholtz . Consiste en dos electroimanes en el mismo eje, que transportan una corriente eléctrica igual en la misma dirección. Además de crear campos magnéticos, las bobinas de Helmholtz también se utilizan en aparatos científicos para cancelar campos magnéticos externos, como el campo magnético de la Tierra.

Cuando el par de dos electroimanes de una bobina de Helmholtz transportan una corriente eléctrica igual en dirección opuesta, se conoce como bobina anti-Helmholtz , lo que crea una región de gradiente de campo magnético casi uniforme , y se utiliza para crear trampas magnéticas para experimentos de física atómica.

Un haz de rayos catódicos en un tubo de vacío doblado en un círculo por una bobina de Helmholtz.

Descripción

Un par de Helmholtz consta de dos bobinas magnéticas circulares idénticas que se colocan simétricamente a lo largo de un eje común, una a cada lado del área experimental y separadas por una distancia igual al radio de la bobina. Cada bobina transporta una corriente eléctrica igual en la misma dirección. ^[1] ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle R}$

El ajuste , que es lo que define un par de Helmholtz, minimiza la no uniformidad del campo en el centro de las bobinas, en el sentido del ajuste ^[2] (lo que significa que la primera derivada distinta de cero es como se explica a continuación), pero deja alrededor de un 7% de variación en la intensidad del campo entre el centro y los planos de las bobinas. Un valor ligeramente mayor de reduce la diferencia de campo entre el centro y los planos de las bobinas, a expensas de empeorar la uniformidad del campo en la región cercana al centro, medida por . ^[3] ${\displaystyle h=R}$ ${\displaystyle \partial ^{2}B/\partial x^{2}=0}$ ${\displaystyle \partial ^{4}B/\partial x^{4}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \partial ^{2}B/\partial x^{2}}$

Cuando un par de bobinas de Helmholtz transportan una corriente eléctrica igual en dirección opuesta, crean una región de gradiente de campo magnético casi uniforme. Esto se conoce como bobina anti-Helmholtz y se utiliza para crear trampas magnéticas para experimentos de física atómica.

En algunas aplicaciones, se utiliza una bobina de Helmholtz para cancelar el campo magnético de la Tierra , produciendo una región con una intensidad de campo magnético mucho más cercana a cero. ^[4]

Matemáticas

Líneas de campo magnético en un plano que divide los bucles de corriente. Nótese que el campo es aproximadamente uniforme entre el par de bobinas. (En esta imagen, las bobinas están colocadas una al lado de la otra: el eje es horizontal).

Inducción del campo magnético a lo largo del eje que cruza el centro de las bobinas; z  = 0 es el punto en el medio de la distancia entre las bobinas

Contornos que muestran la magnitud del campo magnético cerca de un par de bobinas, con una bobina en la parte superior y la otra en la inferior. Dentro del "pulpo" central, el campo está dentro del 1% de su valor central B ₀ . Los ocho contornos son para magnitudes de campo de 0,5  B ₀ , 0,8  B ₀ ,  0,9  B _{0 , 0,95} B ₀ , 0,99  B ₀ , 1,01  B ₀ , 1,05  B ₀ y 1,1  B ₀ .

El cálculo del campo magnético exacto en cualquier punto del espacio es matemáticamente complejo e implica el estudio de las funciones de Bessel . Las cosas son más sencillas a lo largo del eje del par de bobinas, y es conveniente pensar en la expansión de la serie de Taylor de la intensidad del campo como una función de , la distancia desde el punto central del par de bobinas a lo largo del eje. Por simetría, los términos de orden impar en la expansión son cero. Al organizar las bobinas de modo que el origen sea un punto de inflexión para la intensidad del campo debida a cada bobina por separado, se puede garantizar que el término de orden también sea cero y, por lo tanto, el término principal no constante sea de orden . El punto de inflexión para una bobina simple se encuentra a lo largo del eje de la bobina a una distancia de su centro. Por lo tanto, las ubicaciones de las dos bobinas son . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle x^{4}}$ ${\displaystyle R/2}$ ${\displaystyle x=\pm R/2}$

El cálculo detallado a continuación proporciona el valor exacto del campo magnético en el punto central. Si el radio es R , el número de vueltas en cada bobina es n y la corriente a través de las bobinas es I , entonces el campo magnético B en el punto medio entre las bobinas estará dado por

${\displaystyle B={\left({\frac {4}{5}}\right)}^{3/2}{\frac {\mu _{0}nI}{R}},}$

donde es la permeabilidad del espacio libre ( ) . ${\displaystyle \mu _{0}}$ ${\displaystyle 4\pi \times 10^{-7}{\text{ T}}\cdot {\text{m/A}}}$

Derivación

Comencemos con la fórmula para el campo sobre el eje debido a un solo bucle de alambre que se deriva de la ley de Biot-Savart : ^[5]

${\displaystyle B_{1}(x)={\frac {\mu _{0}IR^{2}}{2(R^{2}+x^{2})^{3/2}}}=\xi (x){\frac {\mu _{0}I}{2R}}.}$

Aquí

${\displaystyle \mu _{0}\;}$= la constante de permeabilidad = ${\displaystyle 4\pi \times 10^{-7}{\text{ T}}\cdot {\text{m/A}}=1.257\times 10^{-6}{\text{ T}}\cdot {\text{m/A}},}$

${\displaystyle I\;}$= corriente de la bobina, en amperios ,

${\displaystyle R\;}$= radio de la bobina, en metros,

${\displaystyle x\;}$= distancia de la bobina, en el eje, hasta el punto, en metros,

${\displaystyle \xi (x)=[1+(x/R)^{2}]^{-3/2}\;}$es el coeficiente adimensional dependiente de la distancia.

Las bobinas de Helmholtz constan de n vueltas de cable, por lo que la corriente equivalente en una bobina de una vuelta es n veces la corriente I en la bobina de n vueltas. Sustituyendo nI por I en la fórmula anterior se obtiene el campo para una bobina de n vueltas:

${\displaystyle B_{1}(x)=\xi (x){\frac {\mu _{0}nI}{2R}}.}$

Para , el coeficiente de distancia se puede desarrollar en series de Taylor como: ${\displaystyle x\ll R}$ ${\displaystyle \xi (x)=[1+(x/R)^{2})]^{-3/2}\;}$

${\displaystyle \xi (x)=1-{\frac {3}{2}}(x/R)^{2}+{\mathcal {O}}((x/R)^{4}).}$

En un par de Helmholtz, las dos bobinas están ubicadas en , por lo que la intensidad del campo B en cualquier sería: ${\displaystyle x=\pm R/2}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\begin{aligned}B(x)&={\frac {\mu _{0}nI}{2R}}\left[\xi (x-R/2)+\xi (x+R/2)\right]\\&={\frac {\mu _{0}nI}{2R}}\left([1+(x/R-1/2)^{2}]^{-3/2}+[1+(x/R+1/2)^{2}]^{-3/2}\right)\\\end{aligned}}}$

Los puntos cercanos al centro (a mitad de camino entre las dos bobinas) tienen , y la serie de Taylor de es: ${\displaystyle x\ll R}$ ${\displaystyle \xi (x-R/2)+\xi (x+R/2)}$

${\displaystyle (16{\sqrt {5}})/25-(x/R)^{4}(2304{\sqrt {5}})/3125+{\mathcal {O}}((x/R)^{6})\approx 1.43-1.65(x/R)^{4}+{\mathcal {O}}((x/R)^{6})}$.

En un par anti-Helmholtz, la intensidad del campo B en cualquier sería: ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\begin{aligned}B(x)&={\frac {\mu _{0}nI}{2R}}\left[\xi (x-R/2)-\xi (x+R/2)\right]\\&={\frac {\mu _{0}nI}{2R}}\left([1+(x/R-1/2)^{2}]^{-3/2}-[1+(x/R+1/2)^{2}]^{-3/2}\right)\\\end{aligned}}}$

Los puntos cercanos al centro (a mitad de camino entre las dos bobinas) tienen , y la serie de Taylor de es: ${\displaystyle x\ll R}$ ${\displaystyle \xi (x-R/2)-\xi (x+R/2)}$

${\displaystyle (x/R)(96{\sqrt {5}})/125-(x/R)^{3}(512{\sqrt {5}})/625+{\mathcal {O}}((x/R)^{5})\approx 1.72(x/R)-1.83(x/R)^{3}+{\mathcal {O}}((x/R)^{5})}$.

Campo magnético variable en el tiempo

La mayoría de las bobinas de Helmholtz utilizan corriente continua (CC) para producir un campo magnético estático. Muchas aplicaciones y experimentos requieren un campo magnético variable en el tiempo. Estas aplicaciones incluyen pruebas de susceptibilidad al campo magnético, experimentos científicos y estudios biomédicos (la interacción entre el campo magnético y el tejido vivo). Los campos magnéticos requeridos suelen ser pulsos o ondas sinusoidales continuas. El rango de frecuencia del campo magnético puede ser desde cerca de CC (0 Hz) hasta muchos kilohercios o incluso megahercios (MHz). Se necesita un controlador de bobina de Helmholtz de CA para generar el campo magnético variable en el tiempo requerido. El controlador del amplificador de forma de onda debe poder generar una corriente alterna alta para producir el campo magnético.

Voltaje y corriente del controlador

${\displaystyle I=\left({\frac {5}{4}}\right)^{3/2}\left({\frac {BR}{\mu _{0}n}}\right)}$

Utilice la ecuación anterior en la sección de matemáticas para calcular la corriente de la bobina para un campo magnético deseado , B.

¿Dónde está la permeabilidad del espacio libre o ${\displaystyle \mu _{0}}$ ${\displaystyle 4\pi \times 10^{-7}{\text{ T}}\cdot {\text{m/A}}=1.257\times 10^{-6}{\text{ T}}\cdot {\text{m/A}},}$

${\displaystyle I\;}$= corriente de la bobina, en amperios,

${\displaystyle R\;}$= radio de la bobina, en metros,

n = número de vueltas en cada bobina.

Uso de un generador de funciones y un amplificador de forma de onda de alta corriente para generar un campo magnético de Helmholtz de alta frecuencia

Luego calcule el voltaje requerido para el amplificador del controlador de bobina de Helmholtz: ^[6]

${\displaystyle V=I{\sqrt {{\bigl [}\omega {\bigl (}L_{1}+L_{2}{\bigr )}{\bigr ]}^{2}+{\bigl (}R_{1}+R_{2}{\bigr )}^{2}}}}$

dónde

• I es la corriente pico,
• ω es la frecuencia angular o ω = 2 πf ,
• L ₁ y L ₂ son las inductancias de las dos bobinas de Helmholtz, y
• R ₁ y R ₂ son las resistencias de las dos bobinas.

Serie resonante de alta frecuencia

Generar un campo magnético estático es relativamente fácil; la fuerza del campo es proporcional a la corriente. Generar un campo magnético de alta frecuencia es más desafiante. Las bobinas son inductores y su impedancia aumenta proporcionalmente con la frecuencia. Para proporcionar la misma intensidad de campo al doble de la frecuencia se requiere el doble de voltaje a través de la bobina. En lugar de impulsar directamente la bobina con un alto voltaje, se puede utilizar un circuito resonante en serie para proporcionar el alto voltaje. ^[7] Se agrega un capacitor en serie con las bobinas. La capacitancia se elige para hacer resonar la bobina a la frecuencia deseada. Solo permanece la resistencia parásita de las bobinas. Este método solo funciona a frecuencias cercanas a la frecuencia resonante; para generar el campo a otras frecuencias se requieren capacitores diferentes. La frecuencia resonante de la bobina de Helmholtz, , y el valor del capacitor, C, se dan a continuación. ^[6] ${\displaystyle f_{0}}$

${\displaystyle f_{0}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {\left(L_{1}+L_{2}\right)C}}}}}$

${\displaystyle C={\frac {1}{\left(2\pi f_{0}\right)^{2}\left(L_{1}+L_{2}\right)}}}$

Bobinas de Maxwell

Bobinas (aros) de Helmholtz en tres ejes perpendiculares utilizadas para cancelar el campo magnético de la Tierra dentro del tanque de vacío en un experimento de haz de electrones de 1957

Para mejorar la uniformidad del campo en el espacio dentro de las bobinas, se pueden agregar bobinas adicionales alrededor del exterior. James Clerk Maxwell demostró en 1873 que una tercera bobina de mayor diámetro ubicada a mitad de camino entre las dos bobinas de Helmholtz con la distancia entre las bobinas aumentada desde el radio de la bobina hasta puede reducir la varianza del campo en el eje a cero hasta la sexta derivada de la posición. Esto a veces se llama bobina de Maxwell . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\sqrt {3}}R}$

Véase también

• Solenoide
• Matriz de Halbach
• Una botella magnética tiene la misma estructura que las bobinas de Helmholtz, pero con los imanes más separados de modo que el campo se expande en el medio, atrapando partículas cargadas con las líneas de campo divergentes. Si se invierte una bobina, se produce una trampa de cúspide , que también atrapa partículas cargadas. ^[8]
• Las bobinas de Helmholtz fueron diseñadas y construidas para el laboratorio de pruebas de compuestos electromagnéticos del Laboratorio de Investigación del Ejército en 1993, para probar materiales compuestos en campos magnéticos de baja frecuencia. ^[9]

Referencias

1. Ramsden, Edward (2006). Sensores de efecto Hall: teoría y aplicaciones (2.ª ed.). Ámsterdam: Elsevier/Newnes. pág. 195. ISBN 978-0-75067934-3.
2. Bobina de Helmholtz en unidades CGS Archivado el 24 de marzo de 2012 en Wayback Machine
3. "Electromagnetismo". Archivado desde el original el 3 de junio de 2011. Consultado el 20 de noviembre de 2007 .
4. "Magnetómetro de campo terrestre: bobina de Helmholtz" por Richard Wotiz 2004 Archivado el 28 de junio de 2007 en archive.today
5. "Campo magnético de un bucle de corriente".
6. Yang, KC. "Las bobinas de Helmholtz de alta frecuencia generan campos magnéticos". EDN . Consultado el 27 de enero de 2016 .
7. "Bobina resonante electromagnética de alta frecuencia". www.accelinstruments.com . Consultado el 25 de febrero de 2016 .
8. "ロ グ イ ン - Grupo ASACUSA MUSASHI".
9. J, DeTroye, David; J, Chase, Ronald (noviembre de 1994). "El cálculo y la medición de los campos de las bobinas de Helmholtz". Archivado desde el original el 2 de junio de 2018. {{cite journal}}: Requiere citar revista |journal=( ayuda )CS1 maint: multiple names: authors list (link)

Enlaces externos

• Campo sobre el eje de una bobina de Helmholtz ideal
• Campo axial de un par de bobinas de Helmholtz real
• Campos de bobinas de Helmholtz por Franz Kraft, The Wolfram Demonstrations Project .
• Kevin Kuns (2007) Cálculo del campo magnético dentro de la cámara de plasma, utiliza integrales elípticas y sus derivadas para calcular campos fuera del eje, de PBworks .
• DeTroye, David J.; Chase, Ronald J. (noviembre de 1994), El cálculo y la medición de los campos de las bobinas de Helmholtz (PDF) , Army Research Laboratory, ARL-TN-35, archivado (PDF) desde el original el 18 de abril de 2013
• Campos magnéticos de bobinas Archivado el 30 de abril de 2015 en Wayback Machine
• http://physicsx.pr.erau.edu/HelmholtzCoils/