En la teoría de conjuntos axiomáticos , una disciplina matemática, un pantano es una estructura combinatoria infinita que se utiliza para crear estructuras "grandes" a partir de un número "pequeño" de aproximaciones "pequeñas". Fueron inventados por Ronald Jensen para demostrar que los teoremas de transferencia cardinal se cumplen bajo el axioma de constructibilidad . Velleman introdujo una variante mucho menos compleja pero equivalente conocida como pantano simplificado , y el término pantano se utiliza ahora a menudo para referirse a estas estructuras más simples.
Si bien es posible definir los denominados pantanos gap -n para n > 1, son tan complejos que el enfoque suele restringirse al caso gap-1, excepto para aplicaciones específicas. El "gap" es esencialmente la diferencia cardinal entre el tamaño de las "pequeñas aproximaciones" utilizadas y el tamaño de la estructura final.
Un pantano (gap-1) en un cardinal regular incontable κ (también llamado un ( κ , 1 )-pantano ) consiste en un árbol de altura κ + 1, con el nivel superior que tiene κ + -muchos nodos. Los nodos se toman como ordinales , y las funciones π entre estos ordinales se asocian a los bordes en el orden del árbol. Se requiere que la estructura ordinal de los nodos de nivel superior se "construya" como el límite directo de los ordinales en la rama a ese nodo por las funciones π, por lo que los nodos de nivel inferior pueden considerarse como aproximaciones al nodo de nivel superior (más grande). Se impone una larga lista de axiomas adicionales para que esto suceda de una manera particularmente "agradable". [1] [2]
Velleman [2] y Shelah y Stanley [3] desarrollaron independientemente axiomas de forzamiento equivalentes a la existencia de pantanos, para facilitar su uso por parte de personas no expertas. Yendo más allá, Velleman [4] demostró que la existencia de pantanos es equivalente a pantanos simplificados, que son estructuras mucho más simples. Sin embargo, la única construcción conocida de un pantano simplificado en el universo construible de Gödel es por medio de pantanos, por lo que la noción original conserva su interés.
A lo largo de los años también han aparecido otras variantes de pantanos, generalmente con estructura añadida. Entre ellas se encuentran los pantanos universales [5] , en los que cada subconjunto de κ se construye a través de las ramas del pantano, los manglares [6] , que son pantanos estratificados en niveles ( manglares ) en los que cada rama debe tener un nodo, y los lodazales [7] .
Velleman [8] definió pantanos simplificados gap-1 que son mucho más simples que los pantanos gap-1, y demostró que la existencia de pantanos gap-1 es equivalente a la existencia de pantanos simplificados gap-1.
En términos generales: un ( κ ,1) - pantano simplificado M = < φ → , F ⇒ > contiene una secuencia φ → = < φ β : β ≤ κ > de ordinales tales que φ β < κ para β < κ y φ κ = κ + , y una secuencia doble F ⇒ = < F α , β : α < β ≤ κ > donde F α , β son colecciones de asignaciones monótonas de φ α a φ β para α < β ≤ κ con características específicas (fáciles pero importante) condiciones.
La definición clara de Velleman se puede encontrar en [9] , donde también construyó (ω 0,1 ) pantanos simplificados en ZFC . En [10] dio definiciones simples similares para pantanos simplificados gap-2 , y en [11] construyó (ω 0,2 ) pantanos simplificados en ZFC .
Morgan [12] y Szalkai definieron pantanos simplificados con brechas más altas para cualquier n ≥ 1. [13] [14]
En términos generales: un ( κ , n + 1) - pantano simplificado (de Szalkai) M = < M → , F ⇒ > contiene una secuencia M → = < M β : β ≤ κ > de (< κ , n )-simplificado Estructuras tipo pantano para β < κ y M κ a ( κ + , n ) -pantano simplificado, y una secuencia doble F ⇒ = < F α,β : α < β ≤ κ > donde F α , β son colecciones de mapeos de M α a M β para α < β ≤ κ con condiciones específicas.