En geometría de 7 dimensiones , el panal de abeja 3 31 es un panal uniforme, también dado por el símbolo de Schläfli {3,3,3,3 3,1 } y está compuesto de 3 21 y 7- facetas simplex , con 56 y 576 de ellas respectivamente alrededor de cada vértice.
Se crea mediante una construcción de Wythoff sobre un conjunto de 8 espejos hiperplanos en un espacio de 7 dimensiones.
La información de la faceta se puede extraer de su diagrama de Coxeter-Dynkin .
Al eliminar el nodo de la rama corta queda la faceta 6-símplex :
Al eliminar el nodo en el extremo de la rama de longitud 3, queda la faceta 3 21 :
La figura del vértice se determina eliminando el nodo anillado y anillando el nodo vecino. Esto forma un politopo 2 31 .
La figura de borde se determina eliminando el nodo anillado y anillando el nodo vecino. Esto produce un demicubeo de 6 ( 1 31 ).
La figura de la cara se determina eliminando el nodo anillado y anillando el nodo vecino. Esto produce un 5-símplex rectificado ( 0 31 ).
La figura de la celda se determina eliminando el nodo anillado de la figura de la cara y anillando los nodos vecinos. Esto forma un prisma tetraédrico {}×{3,3}.
Cada vértice de esta teselación es el centro de una 6-esfera en el empaquetamiento más denso conocido en 7 dimensiones; su número de beso es 126, representado por los vértices de su figura de vértice 2 31 .
La disposición de los vértices del panal 3x31 se denomina red E7 . [1]
contiene como subgrupo del índice 144. [2] Tanto y pueden verse como una extensión afín de diferentes nodos:
La red E 7 también se puede expresar como una unión de los vértices de dos redes A 7 , también llamadas A 7 2 :
=
∪La red E 7 * (también llamada E 7 2 ) [3] tiene el doble de simetría, representada por [[3,3 3,3 ]]. La celda de Voronoi de la red E 7 * es el politopo 1 32 , y la teselación de Voronoi el panal 1 33 . [4] La red E 7 * está construida por 2 copias de los vértices de la red E 7 , uno de cada rama larga del diagrama de Coxeter, y se puede construir como la unión de cuatro redes A 7 * , también llamadas A 7 4 :
∪
=∪
∪∪
= dual de.Se trata de una serie dimensional de politopos y panales uniformes, expresada por Coxeter como una serie 3 k1 . Existe un caso degenerado de 4 dimensiones como teselación de 3 esferas, un hosoedro tetraédrico .
