integral de bochner

En matemáticas , la integral de Bochner , llamada así por Salomon Bochner , extiende la definición de integral de Lebesgue a funciones que toman valores en un espacio de Banach , como el límite de integrales de funciones simples .

Definición

Sea un espacio de medida y sea un espacio de Banach . La integral de Bochner de una función se define de forma muy parecida a la integral de Lebesgue. Primero, defina una función simple como cualquier suma finita de la forma donde son miembros disjuntos del álgebra y son elementos distintos de y χ _E es la función característica de If es finita siempre que la función simple sea integrable y la integral entonces se define exactamente como lo es para la integral de Lebesgue ordinaria. ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f:X\to B}$ $${\displaystyle s(x)=\sum _{i=1}^{n}\chi _{E_{i}}(x)b_{i},}$$ ${\displaystyle E_{i}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \Sigma ,}$ ${\displaystyle b_{i}}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle E.}$ ${\displaystyle \mu \left(E_{i}\right)}$ ${\displaystyle b_{i}\neq 0,}$ $${\displaystyle \int _{X}\left[\sum _{i=1}^{n}\chi _{E_{i}}(x)b_{i}\right]\,d\mu =\sum _{i=1}^{n}\mu (E_{i})b_{i}}$$

Una función medible es integrable de Bochner si existe una secuencia de funciones simples integrables tal que la integral del lado izquierdo sea una integral de Lebesgue ordinaria. ${\displaystyle f:X\to B}$ ${\displaystyle s_{n}}$ $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{X}\|f-s_{n}\|_{B}\,d\mu =0,}$$

En este caso, la integral de Bochner está definida por $${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu =\lim _{n\to \infty }\int _{X}s_{n}\,d\mu .}$$

Se puede demostrar que la secuencia es una secuencia de Cauchy en el espacio de Banach, por lo tanto, existe el límite a la derecha; además, el límite es independiente de la secuencia aproximada de funciones simples. Estas observaciones muestran que la integral está bien definida (es decir, es independiente de cualquier elección). Se puede demostrar que una función es integrable de Bochner si y sólo si se encuentra en el espacio de Bochner. ${\displaystyle \left\{\int _{X}s_{n}\,d\mu \right\}_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle \{s_{n}\}_{n=1}^{\infty }.}$ ${\displaystyle L^{1}.}$

Propiedades

Propiedades elementales

Muchas de las propiedades familiares de la integral de Lebesgue siguen siendo válidas para la integral de Bochner. Particularmente útil es el criterio de integrabilidad de Bochner, que establece que si es un espacio de medidas, entonces una función mensurable de Bochner es integrable de Bochner si y sólo si ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle f\colon X\to B}$ $${\displaystyle \int _{X}\|f\|_{B}\,\mathrm {d} \mu <\infty .}$$

Aquí, una función  se llama medible de Bochner si es igual -casi en todas partes- a una función que toma valores en un subespacio separable de , y tal que la imagen inversa de cada conjunto abierto  en  pertenece a . De manera equivalente, es el límite -casi en todas partes- de una secuencia de funciones simples con valores numerables. ${\displaystyle f\colon X\to B}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle B_{0}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle g^{-1}(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mu }$

Operadores lineales

Si es un operador lineal continuo entre espacios de Banach y , y es integrable de Bochner, entonces es relativamente sencillo demostrar que es integrable de Bochner y que la integración y la aplicación de pueden ser intercambiables: para todos los subconjuntos medibles . ${\displaystyle T\colon B\to B'}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B'}$ ${\displaystyle f\colon X\to B}$ ${\displaystyle Tf\colon X\to B'}$ ${\displaystyle T}$ $${\displaystyle \int _{E}Tf\,\mathrm {d} \mu =T\int _{E}f\,\mathrm {d} \mu }$$ ${\displaystyle E\in \Sigma }$

Una forma no trivialmente más fuerte de este resultado, conocida como teorema de Hille , también es válida para operadores cerrados . ^[1] Si es un operador lineal cerrado entre espacios de Banach y y ambos y son integrables de Bochner, entonces para todos los subconjuntos medibles . ${\displaystyle T\colon B\to B'}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B'}$ ${\displaystyle f\colon X\to B}$ ${\displaystyle Tf\colon X\to B'}$ $${\displaystyle \int _{E}Tf\,\mathrm {d} \mu =T\int _{E}f\,\mathrm {d} \mu }$$ ${\displaystyle E\in \Sigma }$

Teorema de convergencia dominada

Una versión del teorema de convergencia dominada también es válida para la integral de Bochner. Específicamente, si es una secuencia de funciones medibles en un espacio de medidas completo que tiende casi en todas partes a una función límite , y si para casi todos , y , entonces como y para todos . ${\displaystyle f_{n}\colon X\to B}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \|f_{n}(x)\|_{B}\leq g(x)}$$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle g\in L^{1}(\mu )}$ $${\displaystyle \int _{E}\|f-f_{n}\|_{B}\,\mathrm {d} \mu \to 0}$$ ${\displaystyle n\to \infty }$ $${\displaystyle \int _{E}f_{n}\,\mathrm {d} \mu \to \int _{E}f\,\mathrm {d} \mu }$$ ${\displaystyle E\in \Sigma }$

Si Bochner es integrable, entonces la desigualdad es válida para todos. En particular, la función de conjunto define una medida vectorial de valor contablemente aditivo en la que es absolutamente continua con respecto a . ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \left\|\int _{E}f\,\mathrm {d} \mu \right\|_{B}\leq \int _{E}\|f\|_{B}\,\mathrm {d} \mu }$$ ${\displaystyle E\in \Sigma .}$ $${\displaystyle E\mapsto \int _{E}f\,\mathrm {d} \mu }$$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$

Propiedad del radón-Nikodym

Un hecho importante acerca de la integral de Bochner es que el teorema de Radón-Nikodym no se cumple en general y, en cambio, es una propiedad (la propiedad de Radón-Nikodym ) que define una clase importante de espacios agradables de Banach.

Específicamente, si es una medida de entonces tiene la propiedad Radon-Nikodym con respecto a si, para cada medida vectorial contablemente aditiva con valores en los que tiene variación acotada y es absolutamente continua con respecto a hay una función integrable tal que para cada conjunto mensurable ^[2] ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (X,\Sigma ),}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mu ,}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle g:X\to B}$ $${\displaystyle \gamma (E)=\int _{E}g\,d\mu }$$ ${\displaystyle E\in \Sigma .}$

El espacio de Banach tiene la propiedad Radon-Nikodym si tiene la propiedad Radon-Nikodym con respecto a cada medida finita. ^[2] Las formulaciones equivalentes incluyen: ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$

• Martingalas de tiempo discreto acotadas convergen como ^[3] ${\displaystyle B}$
• Las funciones de variación acotada son diferenciables ae ^[4] ${\displaystyle B}$
• Para cada acotado , existe uno que tiene un diámetro arbitrariamente pequeño. ^[3] ${\displaystyle D\subseteq B}$ ${\displaystyle f\in B^{*}}$ ${\displaystyle \delta \in \mathbb {R} ^{+}}$ $${\displaystyle \{x:f(x)+\delta >\sup {f(D)}\}\subseteq D}$$

Se sabe que el espacio tiene la propiedad Radon-Nikodym, pero los espacios para un subconjunto acotado abierto de y para un espacio compacto infinito no la tienen. ^[5] Los espacios con la propiedad Radon-Nikodym incluyen espacios duales separables (este es el teorema de Dunford-Pettis ) ^{[ cita requerida ]} y espacios reflexivos , que incluyen, en particular, espacios de Hilbert . ^[2] ${\displaystyle \ell _{1}}$ ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle L^{\infty }(\Omega ),}$ ${\displaystyle L^{1}(\Omega ),}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle C(K),}$ ${\displaystyle K}$

Ver también

• Espacio de Bochner  - Tipo de espacio topológico
• Función medible de Bochner
• Pettis integral
• Medida vectorial
• Función débilmente medible

Referencias

1. Diestel, José; Uhl, hijo, John Jerry (1977). Medidas vectoriales . Encuestas Matemáticas. Sociedad Matemática Estadounidense. doi :10.1090/surv/015.(Ver Teorema II.2.6)
2. Bárcenas, Diómedes (2003). "El teorema de radón-Nikodym para espacios reflexivos de Banach" (PDF) . Divulgaciones Matemáticas . 11 (1): 55–59 [págs. 55–56].
3. Bourgin 1983, págs. 31, 33. Thm. 2.3.6-7, condiciones (1,4,10).
4. Bourgin 1983, pag. 16. "Los primeros investigadores en este campo estaban preocupados por la propiedad del espacio de Banach de que cada función con valor X de variación acotada en [0,1] era diferenciable casi con toda seguridad. Resulta que esta propiedad (conocida como propiedad de Gelfand-Fréchet) también es equivalente a la RNP [Propiedad Radón-Nikodym]".
5. Bourgin 1983, pág. 14.

• Bochner, Salomon (1933), "Integration von Funktionen, deren Werte die Elemente eines Vektorraumes sind" (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 20 : 262–276
• Bourgin, Richard D. (1983). Aspectos geométricos de conjuntos convexos con la propiedad Radón-Nikodým . Apuntes de conferencias de matemáticas 993. Berlín: Springer-Verlag. doi :10.1007/BFb0069321. ISBN 3-540-12296-6.
• Cohn, Donald (2013), Teoría de la medida , Textos avanzados de Birkhäuser Basler Lehrbücher, Springer, doi :10.1007/978-1-4614-6956-8, ISBN 978-1-4614-6955-1
• Yosida, Kôsaku (1980), Análisis funcional , Clásicos de las matemáticas, vol. 123, Springer, doi :10.1007/978-3-642-61859-8, ISBN 978-3-540-58654-8
• Diestel, Joseph (1984), Secuencias y series en espacios de Banach , Textos de Graduado en Matemáticas, vol. 92, Springer, doi :10.1007/978-1-4612-5200-9, ISBN 978-0-387-90859-5
• diésel; Uhl (1977), Medidas vectoriales, Sociedad Matemática Estadounidense , ISBN 978-0-8218-1515-1
• Hille, Einar; Phillips, Ralph (1957), Análisis funcional y semigrupos , Sociedad Matemática Estadounidense , ISBN 978-0-8218-1031-6
• Lang, Serge (1993), Análisis real y funcional (3.ª ed.), Springer, ISBN 978-0387940014
• Sobolev, VI (2001) [1994], "Integral de Bochner", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• van Dulst, D. (2001) [1994], "Medidas vectoriales", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press