En matemáticas , una función zeta p -ádica , o más generalmente una función L p -ádica , es una función análoga a la función zeta de Riemann , o funciones L más generales , pero cuyo dominio y objetivo son p-ádicos (donde p es un número primo ). Por ejemplo, el dominio podrían ser los enteros p -ádicos Z p , un grupo p profinito o una familia p -ádica de representaciones de Galois , y la imagen podría ser los números p -ádicos Q p o su cierre algebraico .
La fuente de una función L p -ádica tiende a ser de dos tipos. La primera fuente, a partir de la cual Tomio Kubota y Heinrich-Wolfgang Leopoldt dieron la primera construcción de una función L p -ádica (Kubota y Leopoldt 1964), es a través de la interpolación p -ádica de valores especiales de funciones L. Por ejemplo, Kubota-Leopoldt utilizó las congruencias de Kummer para los números de Bernoulli para construir una función L p -ádica , la función zeta de Riemann p -ádica ζ p ( s ), cuyos valores en enteros impares negativos son los de la función zeta de Riemann en números negativos. enteros impares (hasta un factor de corrección explícito). Las funciones L p -ádicas que surgen de esta manera generalmente se denominan funciones L p -ádicas analíticas . La otra fuente importante de funciones L p -ádicas , descubierta por primera vez por Kenkichi Iwasawa , proviene de la aritmética de campos ciclotómicos , o más generalmente, ciertos módulos de Galois sobre torres de campos ciclotómicos o incluso torres más generales. Una función p -ádica L que surge de esta manera normalmente se denomina función aritmética p -ádica L -ya que codifica datos aritméticos del módulo de Galois involucrado. La principal conjetura de la teoría de Iwasawa (ahora un teorema debido a Barry Mazur y Andrew Wiles ) es la afirmación de que la función L p -ádica de Kubota-Leopoldt y un análogo aritmético construido por la teoría de Iwasawa son esencialmente iguales. En situaciones más generales en las que se construyen (o se esperan) funciones p -ádicas L analíticas y aritméticas , la afirmación de que concuerdan se denomina conjetura principal de la teoría de Iwasawa para esa situación. Tales conjeturas representan declaraciones formales relativas a la filosofía de que los valores especiales de las funciones L contienen información aritmética.
La función L de Dirichlet viene dada por la continuación analítica de
La función L de Dirichlet en números enteros negativos viene dada por
donde B n ,χ es un número de Bernoulli generalizado definido por
para χ un carácter de Dirichlet con conductor f .
La función L p -adic de Kubota-Leopoldt p ( s , χ) interpola la función L de Dirichlet con el factor de Euler en p eliminado. Más precisamente, L p ( s , χ) es la única función continua del p -número ádico s tal que
para enteros positivos n divisible por p − 1. El lado derecho es solo la función L de Dirichlet habitual , excepto que se elimina el factor de Euler en p , de lo contrario no sería p -ádicamente continuo. La continuidad del lado derecho está estrechamente relacionada con las congruencias de Kummer .
Cuando n no es divisible por p − 1, esto no suele ser cierto; en cambio
para enteros positivos n . Aquí χ está distorsionado por una potencia del carácter ω de Teichmüller .
Las funciones L p -ádicas también se pueden considerar como medidas p -ádicas (o distribuciones p -ádicas ) en grupos p -profinitos de Galois. La traducción entre este punto de vista y el punto de vista original de Kubota-Leopoldt (como funciones valoradas por Qp en Zp ) se realiza a través de la transformada de Mazur-Mellin (y la teoría de campos de clases ).
Deligne y Ribet (1980), basándose en trabajos previos de Serre (1973), construyeron funciones analíticas p -ádicas L para campos totalmente reales. Independientemente, Barsky (1978) y Cassou-Noguès (1979) hicieron lo mismo, pero sus enfoques siguieron el enfoque de Takuro Shintani para el estudio de los valores L.
