Teorema de Burnside

Matemáticas, teoría de grupos

El hombre más rico del mundo.

En matemáticas , el teorema de Burnside en teoría de grupos establece que si G es un grupo finito de orden donde p y q son números primos , y a y b son números enteros no negativos , entonces G es resoluble . Por lo tanto, cada grupo simple finito no abeliano tiene un orden divisible por al menos tres primos distintos. ${\displaystyle p^{a}q^{b}}$

Historia

El teorema fue demostrado por William Burnside  (1904) utilizando la teoría de representación de grupos finitos . Varios casos especiales del teorema habían sido demostrados previamente por Burnside en 1897, Jordan en 1898 y Frobenius en 1902. John G. Thompson señaló que una prueba que evitara el uso de la teoría de la representación podría extraerse de su trabajo en los años 1960 y 1970 sobre el teorema de N-grupos , y esto fue hecho explícitamente por Goldschmidt (1970) para grupos de orden impar, y por Bender (1972) para grupos de orden par. Matsuyama (1973) simplificó las pruebas.

Prueba

La siguiente demostración —que utiliza más antecedentes que la de Burnside— es por contradicción . Sea p ^a q ^b el producto más pequeño de dos potencias primos, tales que existe un grupo G no resoluble cuyo orden es igual a este número.

• G es un grupo simple con centro trivial y a no es cero.

Si G tuviera un subgrupo normal propio no trivial H , entonces (debido a la minimalidad de G ), H y G / H serían resolubles, por lo que G también, lo que contradiría nuestra suposición. Por lo tanto, G es simple.

Si a fuera cero, G sería un grupo q finito , por lo tanto nilpotente y, por lo tanto, resoluble.

De manera similar, G no puede ser abeliano, de lo contrario sería resoluble. Como G es simple, su centro debe ser trivial.

• Hay un elemento g de G que tiene q ^d conjugados , para algún d > 0.

Por el primer enunciado del teorema de Sylow , G tiene un subgrupo S de orden p ^a . Como S es un p -grupo no trivial, su centro Z ( S ) no es trivial. Fijemos un elemento no trivial . El número de conjugados de g es igual al índice de su subgrupo estabilizador G _g , que divide el índice q ^b de S (porque S es un subgrupo de G _g ). Por lo tanto, este número tiene la forma q ^d . Además, el entero d es estrictamente positivo, ya que g no es trivial y, por lo tanto, no es central en G . ${\displaystyle g\in Z(S)}$

• Existe una representación irreducible no trivial ρ con carácter χ, tal que su dimensión n no es divisible por q y el número complejo χ ( g ) no es cero.

Sea ( χ _i ) _{1 ≤  i  ≤  h} la familia de caracteres irreducibles de G sobre (aquí χ ₁ denota el carácter trivial). Como g no está en la misma clase de conjugación que 1, la relación de ortogonalidad para las columnas de la tabla de caracteres del grupo da: ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle 0=\sum _{i=1}^{h}\chi _{i}(1)\chi _{i}(g)=1+\sum _{i=2}^{h}\chi _{i}(1)\chi _{i}(g).}$

Ahora bien, los χ _i ( g ) son números enteros algebraicos , porque son sumas de raíces de la unidad . Si todos los caracteres irreducibles no triviales que no se anulan en g toman un valor divisible por q en 1, deducimos que

${\displaystyle -{\frac {1}{q}}=\sum _{i\geq 2,~\chi _{i}(g)\neq 0}{\frac {\chi _{i}(1)}{q}}\chi _{i}(g)}$

es un entero algebraico (ya que es una suma de múltiplos enteros de enteros algebraicos), lo cual es absurdo. Esto prueba la afirmación.

• El número complejo q ^d χ ( g )/ n es un entero algebraico.

El conjunto de funciones de clase de valor entero en G , Z ( [ G ]), es un anillo conmutativo , finitamente generado sobre . Todos sus elementos son, por lo tanto, integrales sobre , en particular la función u que toma el valor 1 en la clase de conjugación de g y 0 en el resto. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

El mapeo que envía una función de clase f a ${\displaystyle A\colon Z(\mathbb {Z} [G])\rightarrow \operatorname {End} (\mathbb {C} ^{n})}$

${\displaystyle \sum _{s\in G}f(s)\rho (s)}$

es un homomorfismo de anillo. Porque para todo s , el lema de Schur implica que es una homotecia . Su traza nλ es igual a ${\displaystyle \rho (s)^{-1}A(u)\rho (s)=A(u)}$ ${\displaystyle A(u)}$ ${\displaystyle \lambda I_{n}}$

${\displaystyle \sum _{s\in G}f(s)\chi (s)=q^{d}\chi (g).}$

Como la homotecia λI _n es la imagen homomórfica de un elemento integral, esto demuestra que el número complejo λ =  q ^d χ ( g )/ n es un entero algebraico.

• El número complejo χ ( g )/ n es un entero algebraico.

Como q es relativamente primo de n , por la identidad de Bézout hay dos números enteros x e y tales que:

${\displaystyle xq^{d}+yn=1\quad {\text{therefore}}\quad {\frac {\chi (g)}{n}}=x{\frac {q^{d}\chi (g)}{n}}+y\chi (g).}$

Dado que una combinación lineal con coeficientes enteros de números enteros algebraicos es nuevamente un número entero algebraico, esto prueba la afirmación.

• La imagen de g , bajo la representación ρ , es una homotecia.

Sea ζ el número complejo χ ( g )/ n . Es un entero algebraico, por lo que su norma N ( ζ ) (es decir, el producto de sus conjugados , que son las raíces de su polinomio mínimo sobre ) es un entero distinto de cero. Ahora ζ es el promedio de las raíces de la unidad (los valores propios de ρ ( g )), por lo tanto también lo son sus conjugados, por lo que todos tienen un valor absoluto menor o igual a 1. Debido a que el valor absoluto de su producto N ( ζ ) es mayor o igual a 1, su valor absoluto debe ser todos 1, en particular ζ , lo que significa que los valores propios de ρ ( g ) son todos iguales, por lo que ρ ( g ) es una homotecia. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

• Conclusión

Sea N el núcleo de ρ . La homotecia ρ ( g ) es central en Im( ρ ) (que es canónicamente isomorfa a G / N ), mientras que g no es central en G . En consecuencia, el subgrupo normal N del grupo simple G no es trivial, por lo tanto es igual a G , lo que contradice el hecho de que ρ es una representación no trivial.

Esta contradicción prueba el teorema.

Referencias

• ^{Bender, Helmut (1972), "Una prueba teórica de grupo del teorema p a} q ^b de Burnside ", Mathematische Zeitschrift , 126 (4): 327–338, doi :10.1007/bf01110337, MR  0322048, S2CID  119821947
• Burnside, W. (1904), "Sobre grupos de orden pαqβ", Actas de la London Mathematical Society (s2-1 (1)): 388–392, doi :10.1112/plms/s2-1.1.388
• Goldschmidt, David M. (1970), "Una prueba teórica de grupo del teorema p ^a q ^b para primos impares", Mathematische Zeitschrift , 113 (5): 373–375, doi :10.1007/bf01110506, MR  0276338, S2CID  123625253
• James, Gordon; y Liebeck, Martin (2001). Representaciones y caracteres de grupos (2.ª ed.) Cambridge University Press . ISBN 0-521-00392-X . Véase el capítulo 31. 
• Matsuyama, Hiroshi (1973), "Solubilidad de grupos de orden 2 ^a q ^b .", Osaka Journal of Mathematics , 10 : 375–378, MR  0323890