Ovoide (geometría proyectiva)

A la definición de ovoide: t tangente, s recta secante

En geometría proyectiva, un ovoide es un conjunto de puntos (superficie) de forma esférica en un espacio proyectivo de dimensión d ≥ 3. Ejemplos sencillos en un espacio proyectivo real son las hiperesferas ( cuádricas ). Las propiedades geométricas esenciales de un ovoide son: ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

1. Cualquier línea se interseca en 2 puntos como máximo, ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$
2. Las tangentes en un punto cubren un hiperplano (y nada más), y
3. ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$No contiene líneas.

La propiedad 2) excluye los casos degenerados (conos,...). La propiedad 3) excluye las superficies regladas (hiperboloides de una lámina,...).

Un ovoide es el análogo espacial de un óvalo en un plano proyectivo.

Un ovoide es un tipo especial de conjunto cuadrático .

Los ovoides juegan un papel esencial en la construcción de ejemplos de planos de Möbius y geometrías de Möbius de dimensiones superiores.

Definición de ovoide

• En un espacio proyectivo de dimensión d ≥ 3 un conjunto de puntos se llama ovoide , si ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

(1) Cualquier línea g se corta en como máximo 2 puntos. ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

En el caso de , la línea se llama línea pasante (o exterior ) , si la línea es una línea tangente , y si la línea es una línea secante . ${\displaystyle |g\cap {\mathcal {O}}|=0}$ ${\displaystyle |g\cap {\mathcal {O}}|=1}$ ${\displaystyle |g\cap {\mathcal {O}}|=2}$

(2) En cualquier punto las líneas tangentes que pasan por P cubren un hiperplano, el hiperplano tangente , (es decir, un subespacio proyectivo de dimensión d − 1 ). ${\displaystyle P\in {\mathcal {O}}}$

(3) no contiene líneas. ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

Desde el punto de vista de las secciones del hiperplano, un ovoide es un objeto bastante homogéneo, porque

• Para un ovoide y un hiperplano , que contiene al menos dos puntos de , el subconjunto es un ovoide (o un óvalo, si d = 3 ) dentro del hiperplano . ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle \varepsilon \cap {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Para espacios proyectivos finitos de dimensión d ≥ 3 (es decir, el conjunto de puntos es finito, el espacio es papiano ^[1] ), el siguiente resultado es verdadero:

• Si es un ovoide en un espacio proyectivo finito de dimensión d ≥ 3 , entonces d = 3 . ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

(En el caso finito, los ovoides sólo existen en espacios tridimensionales.) ^[2]

• En un espacio proyectivo finito de orden n > 2 (es decir, cualquier línea contiene exactamente n + 1 puntos) y dimensión d = 3, cualquier conjunto de puntos es un ovoide si y solo si no hay tres puntos colineales (en una línea común). ^[3] ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle |{\mathcal {O}}|=n^{2}+1}$

Reemplazando la palabra proyectivo en la definición de un ovoide por afín , se obtiene la definición de un ovoide afín .

Si para un ovoide (proyectivo) existe un hiperplano adecuado que no lo interseca, se puede llamar a este hiperplano el hiperplano en el infinito y el ovoide se convierte en un ovoide afín en el espacio afín correspondiente a . Además, cualquier ovoide afín puede considerarse un ovoide proyectivo en la clausura proyectiva (añadiendo un hiperplano en el infinito) del espacio afín. ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon _{\infty }}$ ${\displaystyle \varepsilon _{\infty }}$

Ejemplos

En el espacio proyectivo real (representación no homogénea)

1. ${\displaystyle {\mathcal {O}}=\{(x_{1},...,x_{d})\in {\mathbb {R} }^{d}\;|\;x_{1}^{2}+\cdots +x_{d}^{2}=1\}\ ,}$(hiperesfera)
2. ${\displaystyle {\mathcal {O}}=\{(x_{1},...,x_{d})\in {\mathbb {R} }^{d}\;|x_{d}=x_{1}^{2}+\cdots +x_{d-1}^{2}\;\}\;\cup \;\{{\text{point at infinity of }}x_{d}{\text{-axis}}\}}$

Estos dos ejemplos son cuádricos y son proyectivamente equivalentes.

Ejemplos simples, que no son cuádricos, se pueden obtener mediante las siguientes construcciones:

(a) Pegue la mitad de una hiperesfera a un hiperelipsoide adecuado de manera suave .

(b) En los dos primeros ejemplos reemplace la expresión x ₁ ² por x ₁ ⁴ .

Observación: Los ejemplos reales no se pueden convertir al caso complejo (espacio proyectivo sobre ). En un espacio proyectivo complejo de dimensión d ≥ 3 no hay cuádricas ovoidales, porque en ese caso cualquier cuádrica no degenerada contiene rectas. ${\displaystyle {\mathbb {C} }}$

Pero el siguiente método garantiza muchos ovoides no cuadráticos:

• Para cualquier espacio proyectivo no finito la existencia de ovoides se puede demostrar mediante inducción transfinita . ^{[4] [5]}

Ejemplos finitos

• Cualquier ovoide en un espacio proyectivo finito de dimensión d = 3 sobre un cuerpo K de característica ≠ 2 es una cuádrica . ^[6] ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

El último resultado no se puede extender a una característica par, debido a los siguientes ejemplos no cuadráticos:

• Para impar y el automorfismo ${\displaystyle K=GF(2^{m}),\;m}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle x\mapsto x^{(2^{\frac {m+1}{2}})}\;,}$

El conjunto de puntos

${\displaystyle {\mathcal {O}}=\{(x,y,z)\in K^{3}\;|\;z=xy+x^{2}x^{\sigma }+y^{\sigma }\}\;\cup \;\{{\text{point of infinity of the }}z{\text{-axis}}\}}$es un ovoide en el espacio proyectivo tridimensional sobre K (representado en coordenadas no homogéneas).

Sólo cuando m = 1 el ovoide es cuádrico. ^[7] ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}}$Se llama Tetas-Suzuki-ovoide .

Criterios para que un ovoide sea cuádrico

Una cuádrica ovoide tiene muchas simetrías. En particular:

• Sea un ovoide en un espacio proyectivo de dimensión d ≥ 3 y un hiperplano. Si el ovoide es simétrico respecto de cualquier punto (es decir, existe una perspectividad involutiva con centro que deja invariante), entonces es papiano y cuádrico. ^[8] ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle P\in \varepsilon \setminus {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$
• Un ovoide en un espacio proyectivo es un cuádrico, si el grupo de proyectividades, que deja invariante opera 3-transitivamente en , es decir para dos ternas existe una proyectividad con . ^[9] ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\;B_{1},B_{2},B_{3}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi (A_{i})=B_{i},\;i=1,2,3}$

En el caso finito se obtiene del teorema de Segre :

• Sea un ovoide en un espacio proyectivo desarguesiano tridimensional finito de orden impar , entonces es pappiano y es cuádrico. ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

Generalización: semi-ovoide

Al eliminar la condición (1) de la definición de ovoide se obtiene la definición de semiovoide :

Un conjunto de puntos de un espacio proyectivo se denomina semiovoide si ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

Se cumplen las siguientes condiciones:

(SO1) Para cualquier punto las tangentes que pasan por el punto cubren exactamente un hiperplano. ${\displaystyle P\in {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle P}$

(SO2) no contiene líneas. ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

Un semi-ovoide es un conjunto semi-cuadrático especial ^[10] que es una generalización de un conjunto cuadrático . La diferencia esencial entre un conjunto semi-cuadrático y un conjunto cuadrático es el hecho de que puede haber líneas que tengan 3 puntos en común con el conjunto y las líneas no estén contenidas en el conjunto.

Ejemplos de semiovoides son los conjuntos de puntos isótropos de forma hermítica . Se denominan cuádricas hermíticas .

En cuanto a los ovoides, en la literatura existen criterios que convierten un semiovoide en un cuádrico hermítico. Véase, por ejemplo, ^[11]

Los semiovoides se utilizan en la construcción de ejemplos de geometrías de Möbius.

Véase también

• Ovoide (espacio polar)
• Plano de Möbius

Notas

1. Dembowski 1968, pág. 28
2. Dembowski 1968, pág. 48
3. Dembowski 1968, pág. 48
4. W. Heise: Bericht über -affine Geometrien ${\displaystyle \kappa }$ , Revista. de Geometría 1 (1971), S. 197–224, Satz 3.4.
5. F. Buekenhout : una caracterización de las semicuádricas , Atti dei Convegni Lincei 17 (1976), S. 393-421, capítulo 3.5
6. Dembowski 1968, pág. 49
7. Dembowski 1968, pág. 52
8. H. Mäurer: Ovoide mit Symmetrien an den Punkten einer Hyperebene , Abh. Matemáticas. Sem. Hamburgo 45 (1976), págs. 237-244
9. J. Tetas : Ovoides à Translations , Rend. Estera. 21 (1962), págs. 37–59.
10. F. Buekenhout : una caracterización de las semicuádricas , Atti dei Convegni Lincei 17 (1976), S. 393-421.
11. KJ Dienst: Kennzeichnung hermitescher Quadriken durch Spiegelungen , Beiträge zur geometrischen Algebra (1977), Birkhäuser-Verlag, S. 83-85.

Referencias

• Dembowski, Peter (1968), Geometrías finitas , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Band 44, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 3-540-61786-8, Sr.  0233275

Lectura adicional

• Barlotti, A. (1955), "Un'estensione del teorema di Segre-Kustaanheimo", Boll. Naciones Unidas. Estera. Italiano. , 10 : 96–98
• Hirschfeld, JWP (1985), Espacios proyectivos finitos de tres dimensiones , Nueva York: Oxford University Press, ISBN 0-19-853536-8
• Panella, G. (1955), "Caratterizzazione delle quadriche di uno spazio (tridimensionale) lineare sopra un corpo finito", Boll. Naciones Unidas. Estera. Italiano. , 10 : 507–513

Enlaces externos

• E. Hartmann: Geometrías circulares planas, una introducción a los planos de Moebius, Laguerre y Minkowski. Skript, TH Darmstadt (PDF; 891 kB), págs. 121-123.