Anulación

Concepto matemático

En matemáticas, un anillo superior de un dominio integral contiene el dominio integral, y el campo de fracciones del dominio integral contiene el anillo superior. Los anillos superiores permiten comprender mejor los distintos tipos de anillos y dominios .

Definición

En este artículo, todos los anillos son anillos conmutativos , y el anillo y el supraanillo comparten el mismo elemento identidad .

Sea el cuerpo de fracciones de un dominio integral . El anillo es un subanillo de dominio integral si es un subanillo de y es un subanillo del cuerpo de fracciones ; ^{[1] : 167} la relación es . ^{[2] : 373} ${\textstyle Q(A)}$ ${\textstyle A}$ ${\textstyle B}$ ${\textstyle A}$ ${\textstyle A}$ ${\textstyle B}$ ${\textstyle B}$ ${\textstyle Q(A)}$ ${\textstyle A\subseteq B\subseteq Q(A)}$

Propiedades

Anillo de fracciones

Los anillos son los anillos de fracciones de anillos por conjunto multiplicativo . ^{[3] : 46} Supongamos que es un sobreanillo de y es un conjunto multiplicativo en . El anillo es un sobreanillo de . El anillo es el anillo total de fracciones de si cada elemento no unitario de es un divisor de cero. ^{[4] : 52–53} Cada sobreanillo de contenido en es un anillo , y es un sobreanillo de . ^{[4] : 52–53} El anillo está integralmente cerrado en si está integralmente cerrado en . ^{[4] : 52–53} ${\textstyle R_{A},S_{A},T_{A}}$ ${\textstyle R,S,T}$ ${\textstyle A}$ ${\textstyle T}$ ${\textstyle R}$ ${\textstyle A}$ ${\textstyle R}$ ${\textstyle T_{A}}$ ${\textstyle R_{A}}$ ${\textstyle T_{A}}$ ${\textstyle R_{A}}$ ${\textstyle T_{A}}$ ${\textstyle R_{A}}$ ${\textstyle T_{A}}$ ${\textstyle S_{A}}$ ${\textstyle S}$ ${\textstyle R}$ ${\textstyle R_{A}}$ ${\textstyle T_{A}}$ ${\textstyle R}$ ${\textstyle T}$

Dominio noetheriano

Definiciones

Un anillo noetheriano satisface las tres condiciones finitas equivalentes : i) toda cadena ascendente de ideales es finita, ii) toda familia no vacía de ideales tiene un elemento maximal y iii) todo ideal tiene una base finita . ^{[3] : 199}

Un dominio integral es un dominio de Dedekind si cada ideal del dominio es un producto finito de ideales primos . ^{[3] : 270}

La dimensión restringida de un anillo es el rango máximo entre los rangos de todos los ideales primos que contienen un elemento regular. ^{[4] : 52}

Un anillo es localmente libre de nilpotentes si cada anillo con ideal máximo está libre de elementos nilpotentes o un anillo con cada elemento no unitario que es divisor de cero . ^{[4] : 52} ${\textstyle R}$ ${\textstyle R_{M}}$ ${\textstyle M}$

Un anillo afín es la imagen homomórfica de un anillo polinomial sobre un cuerpo . ^{[4] : 58}

Propiedades

Cada anillo superior de un anillo de Dedekind es un anillo de Dedekind. ^{[5] [6]}

Todo anillo superior de una suma directa de anillos cuyos elementos no unitarios son todos divisores de cero es un anillo noetheriano. ^{[4] : 53}

Cada anillo superior de un dominio noetheriano unidimensional de Krull es un anillo noetheriano. ^{[4] : 53}

Estas afirmaciones son equivalentes para el anillo noetheriano con cierre integral . ^{[4] : 57} ${\textstyle R}$ ${\textstyle {\bar {R}}}$

• Cada anillo superior es un anillo noetheriano. ${\textstyle R}$
• Para cada ideal máximo de , cada anillo superior de es un anillo noetheriano. ${\textstyle M}$ ${\textstyle R}$ ${\textstyle R_{M}}$
• El anillo es localmente nilpotente y libre con dimensión restringida 1 o menos. ${\textstyle R}$
• El anillo es noetheriano y el anillo tiene una dimensión restringida de 1 o menos. ${\textstyle {\bar {R}}}$ ${\textstyle R}$
• Cada anillo superior está integralmente cerrado. ${\textstyle {\bar {R}}}$

Estas afirmaciones son equivalentes para un anillo afín con cierre integral . ^{[4] : 58} ${\textstyle R}$ ${\textstyle {\bar {R}}}$

• El anillo es localmente nilpotente y libre. ${\textstyle R}$
• El anillo es un módulo finito . ${\textstyle {\bar {R}}}$ ${\textstyle \operatorname {R-} }$
• El anillo es noetheriano. ${\textstyle {\bar {R}}}$

Un anillo local integralmente cerrado es un dominio integral o un anillo cuyos elementos no unitarios son todos divisores de cero. ^{[4] : 58} ${\textstyle R}$

Un dominio integral noetheriano es un anillo de Dedekind si cada anillo superior del anillo noetheriano está integralmente cerrado. ^{[7] : 198}

Cada anillo superior de un dominio integral noetheriano es un anillo de fracciones si el dominio integral noetheriano es un anillo de Dedekind con un grupo de clases de torsión. ^{[7] : 200}

Anillos coherentes

Definiciones

Un anillo coherente es un anillo conmutativo con cada ideal finitamente generado finitamente presentado . ^{[2] : 373} Los dominios noetherianos y los dominios de Prüfer son coherentes. ^{[8] : 137}

Un par indica una extensión de dominio integral de más de . ^{[9] : 331} ${\textstyle (R,T)}$ ${\textstyle T}$ ${\textstyle R}$

El anillo es un dominio intermedio para el par si es un subdominio de y es un subdominio de . ^{[9] : 331} ${\textstyle S}$ ${\textstyle (R,T)}$ ${\textstyle R}$ ${\textstyle S}$ ${\textstyle S}$ ${\textstyle T}$

Propiedades

La dimensión de Krull de un anillo noetheriano es 1 o menos si cada anillo superior es coherente. ^{[2] : 373}

Para un par de dominios integrales , es un anular de si cada dominio integral intermedio está integralmente cerrado en . ^{[9] : 332  [10] : 175} ${\textstyle (R,T)}$ ${\textstyle T}$ ${\textstyle R}$ ${\textstyle T}$

El cierre integral de es un dominio de Prüfer si cada anillo superior apropiado de es coherente. ^{[8] : 137} ${\textstyle R}$ ${\textstyle R}$

Los anillos superiores de los dominios de Prüfer y los dominios noetherianos unidimensionales de Krull son coherentes. ^{[8] : 138}

Dominios de prueba

Propiedades

Un anillo tiene propiedad QR si cada anillo superior es una localización con un conjunto multiplicativo. ^{[11] : 196} Los dominios QR son dominios de Prüfer. ^{[11] : 196} Un dominio de Prüfer con un grupo de Picard de torsión es un dominio QR. ^{[11] : 196} Un dominio de Prüfer es un dominio QR si el radical de cada ideal finitamente generado es igual al radical generado por un ideal principal . ^{[12] : 500}

La afirmación de que un dominio de Prüfer es equivalente a: ^{[13] : 56} ${\textstyle R}$

• Cada anillo superior de es la intersección de las localizaciones de , y está integralmente cerrado. ${\textstyle R}$ ${\textstyle R}$ ${\textstyle R}$
• Cada anillo superior de es la intersección de anillos de fracciones de , y está integralmente cerrado. ${\textstyle R}$ ${\textstyle R}$ ${\textstyle R}$
• Cada anillo superior de tiene ideales primos que son extensiones de los ideales primos de , y está integralmente cerrado. ${\textstyle R}$ ${\textstyle R}$ ${\textstyle R}$
• Cada anillo superior de tiene como máximo 1 ideal primo que se encuentra sobre cualquier ideal primo de , y está integralmente cerrado ${\textstyle R}$ ${\textstyle R}$ ${\textstyle R}$
• Cada anillo superior está integralmente cerrado. ${\textstyle R}$
• Cada anillo superior es coherente. ${\textstyle R}$

La afirmación de que un dominio de Prüfer es equivalente a: ^{[1] : 167} ${\textstyle R}$

• Cada anillo superior es plano como un módulo. $S$ ${\textstyle R}$ ${\displaystyle \operatorname {S-} }$
• Cada anillo de valoración es un anillo de fracciones. ${\textstyle R}$

Anulación mínima

Definiciones

Un homomorfismo de anillo mínimo es un homomorfismo inyectivo no sobreyectivo , y si el homomorfismo es una composición de homomorfismos y entonces o es un isomorfismo. ^{[14] : 461} ${\textstyle f}$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle g}$ ${\textstyle h}$ ${\textstyle g}$ ${\textstyle h}$

Una extensión mínima adecuada del anillo de un subanillo ocurre si la inclusión del anillo en el anillo es un homomorfismo mínimo del anillo. Esto implica que el par de anillos no tiene un anillo intermedio adecuado. ^{[15] : 186} ${\textstyle T}$ ${\textstyle R}$ ${\textstyle R}$ ${\textstyle T}$ ${\textstyle (R,T)}$

Se produce un sobreanillo mínimo del anillo si éste contiene un subanillo y el par de anillos no tiene un anillo intermedio adecuado. ^{[16] : 60} ${\textstyle T}$ ${\textstyle R}$ ${\textstyle T}$ ${\textstyle R}$ ${\textstyle (R,T)}$

La transformada ideal de Kaplansky ( transformada de Hayes , transformada S ) de un ideal con respecto al dominio integral es un subconjunto del cuerpo de fracciones . Este subconjunto contiene elementos tales que para cada elemento del ideal existe un entero positivo cuyo producto está contenido en el dominio integral . ^{[17] [16] : 60} ${\textstyle I}$ ${\textstyle R}$ ${\textstyle Q(R)}$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle y}$ ${\textstyle I}$ ${\textstyle n}$ ${\textstyle x\cdot y^{n}}$ ${\textstyle R}$

Propiedades

Cualquier dominio generado a partir de una extensión de anillo mínima de dominio es un anillo superior de si no es un campo. ^{[17] [15] : 186} ${\textstyle R}$ ${\textstyle R}$ ${\textstyle R}$

El campo de fracciones de contiene un anular mínimo de cuando no es un campo. ^{[16] : 60} ${\textstyle R}$ ${\textstyle T}$ ${\textstyle R}$ ${\textstyle R}$

Supongamos que un dominio integral cerrado integralmente no es un campo. Si existe un anular mínimo del dominio integral , este anular mínimo ocurre como la transformada de Kaplansky de un ideal máximo de . ^{[16] : 60} ${\textstyle R}$ ${\textstyle R}$ ${\textstyle R}$

Ejemplos

El dominio integral de Bézout es un tipo de dominio de Prüfer; la propiedad definitoria del dominio de Bézout es que todo ideal finitamente generado es un ideal principal. El dominio de Bézout compartirá todas las propiedades generales de un dominio de Prüfer. ^{[1] : 168}

El anillo de números enteros es un anillo de Prüfer, y todos los anillos superiores son anillos de cocientes. ^{[7] : 196} El racional diádico es una fracción con un numerador entero y denominadores potencias de 2. El anillo racional diádico es la localización de los números enteros por potencias de dos y un anillo superior del anillo de números enteros.

Véase también

• Anillo categórico
• Categoría de anillos  – Categoría matemática cuyos objetos son anillos
• Anillo coherente  – Estructura algebraica
• Dominio de Dedekind  – Anillo con factorización única para ideales (matemáticas)
• Glosario de la teoría de anillos
• Elemento integral
• Dimensión de Krull  : En matemáticas, dimensión de un anillo.
• Anillo local  – Anillo (matemático) con un ideal máximo único
• Localización (álgebra conmutativa)
• Nilpotente  – Elemento en un anillo cuya potencia es 0
• Grupo de Picard  : grupo matemático que aparece en la geometría algebraica y en la teoría de variedades complejas.
• Ideal principal  – Ideal de anillo generado por un solo elemento del anillo
• Dominio de Prüfer  - dominio integral semihereditarioPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Anillo noetheriano  : anillo matemático con ideales bien comportados
• Elemento regular (en teoría de anillos):
  • Anillo regular de von Neumann  – Anillos que admiten inversas débiles
  • Divisor de cero  : elemento del anillo que se puede multiplicar por un elemento distinto de cero para obtener 0
• Subring  – Subconjunto de un anillo que forma un anillo a su vez
• Anillo total de fracciones
• Anillo de valoración  – Concepto en álgebra

Notas

1. Fontana y Papick 2002.
2. Papick 1978.
3. Zariski y Samuel 1965.
4. 1962.
5. Cohen 1950.
6. Lane y Schilling 1939.
7. abcDavis 1964.
8. Papick 1980.
9. Papick 1979.
10. Davis 1973.
11. Fuchs, Heinzer y Olberding 2004.
12. Pendleton 1966.
13. Bazzoni y Glaz 2006.
14. Ferrand y Olivier 1970.
15. Dobbs y Shapiro 2006.
16. Dobbs y Shapiro 2007.
17. Sato, Sugatani y Yoshida 1992.

Referencias

• Atiyah, Michael Francis; Macdonald, Ian G. (1969). Introducción al álgebra conmutativa. Reading, Mass.: Addison-Wesley Publishing Company. ISBN 9780201407518.
• Bazzoni, Silvana; Glaz, Sarah (2006). "Anillos de Prüfer". En Anillos de Brewer, James W.; Glaz, Sarah; Heinzer, William J.; Olberding, Bruce M. (eds.). Teoría del ideal multiplicativo en álgebra conmutativa: un tributo al trabajo de Robert Gilmer. Nueva York, NY: Springer. págs. 54–72. doi :10.1007/978-0-387-36717-0. ISBN . 978-0-387-24600-0.
• Cohen, Irving S. (1950). "Anillos conmutativos con condición mínima restringida". Duke Mathematical Journal . 17 (1): 27–42. doi :10.1215/S0012-7094-50-01704-2.
• Davis, Edward D (1962). "Anillos superiores de anillos conmutativos. I. Anillos superiores noetherianos" (PDF) . Transactions of the American Mathematical Society . 104 (1): 52–61.
• Davis, Edward D (1964). "Anillos superiores de anillos conmutativos. II. Anillos superiores integralmente cerrados" (PDF) . Transactions of the American Mathematical Society . 110 (2): 196–212. doi :10.1090/S0002-9947-1964-0156868-2.
• Davis, Edward D. (1973). "Anillos superiores de anillos conmutativos. III. Pares normales" (PDF) . Transactions of the American Mathematical Society : 175–185.
• Dobbs, David E.; Shapiro, Jay (2006). "Una clasificación de las extensiones mínimas de anillo de un dominio integral". Journal of Algebra . 305 (1): 185–193. doi : 10.1016/j.jalgebra.2005.10.005 .
• Dobbs, David E.; Shapiro, Jay (2007). "Descenso de anillos mínimos de dominios integralmente cerrados a anillos fijos". Houston Journal of Mathematics . 33 (1).
• Ferrán, Daniel; Olivier, Jean-Pierre (1970). "Homomorfismos minimaux d'anneaux" (PDF) . Revista de Álgebra . 16 (3): 461–471. doi :10.1016/0021-8693(70)90020-7.
• Fontana, Marco; Papick, Ira J. (2002), "Dominios de Dedekind y Prüfer", en Mikhalev, Alexander V.; Pilz, Günter F. (eds.), El manual conciso de álgebra, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, págs. 165-168, ISBN 9780792370727
• Fuchs, Laszlo; Heinzer, William; Olberding, Bruce (2004), "Divisores primos máximos en anillos aritméticos", Rings, modules, algebras, and abelian groups, Lecture Notes in Pure and Appl. Math., vol. 236, Dekker, Nueva York, págs. 189–203, MR  2050712
• Lane, Saunders Mac; Schilling, OFG (1939). "Cuerpos de números infinitos con teorías ideales de Noether". American Journal of Mathematics . 61 (3): 771–782. doi :10.2307/2371335. JSTOR  2371335.
• Papick, Ira J. (1978). "Una observación sobre los anillas coherentes". Canadian Mathematical Bulletin . 21 (3): 373–375. doi : 10.4153/CMB-1978-067-4 .
• Papick, Ira J. (1979). "Anillos superiores coherentes". Canadian Mathematical Bulletin . 22 (3): 331–337. doi : 10.4153/CMB-1979-041-3 .
• Papick, Ira J. (1980). "Una nota sobre los overrings adecuados". Rikkyo Daigaku Sugaku Zasshi . 28 (2): 137-140. doi : 10.14992/00010253 .
• Pendleton, Robert L. (1966). "Una caracterización de los dominios Q". Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 72 (4): 499–500. doi : 10.1090/S0002-9904-1966-11514-8 .
• Sato, Junro; Sugatani, Takasi; Yoshida, Ken-ichi (enero de 1992). "Sobre las anulaciones mínimas de un dominio noetheriano". Comunicaciones en Álgebra . 20 (6): 1735-1746. doi : 10.1080/00927879208824427.
• Zariski, Oscar; Samuel, Pierre (1965). Álgebra conmutativa. Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90089-6.

Categorías relacionadas