Anarmonicidad

Desviación de un sistema físico de ser un oscilador armónico

Energía potencial de una molécula diatómica en función del espaciamiento atómico . Cuando las moléculas están demasiado cerca o demasiado lejos, experimentan una fuerza restauradora que las vuelve a dirigir hacia u ₀ . (Imagínese una canica rodando de un lado a otro en la depresión). La curva azul tiene una forma parecida al pozo de potencial real de la molécula , mientras que la parábola roja es una buena aproximación para pequeñas oscilaciones. La aproximación roja trata a la molécula como un oscilador armónico, porque la fuerza restauradora, -V'(u) , es lineal con respecto al desplazamiento u .

En mecánica clásica , la anarmonicidad es la desviación de un sistema de ser un oscilador armónico . Un oscilador que no oscila en movimiento armónico se conoce como oscilador anarmónico, donde el sistema se puede aproximar a un oscilador armónico y la anarmonicidad se puede calcular utilizando la teoría de perturbaciones . Si la anarmonicidad es grande, entonces se deben utilizar otras técnicas numéricas . En realidad, todos los sistemas oscilantes son anarmónicos, pero la mayoría se aproxima al oscilador armónico cuanto menor es la amplitud de la oscilación.

Como resultado, aparecen oscilaciones con frecuencias y etc., donde es la frecuencia fundamental del oscilador. Además, la frecuencia se desvía de la frecuencia de las oscilaciones armónicas. Véase también intermodulación y tonos de combinación . Como primera aproximación, el desplazamiento de frecuencia es proporcional al cuadrado de la amplitud de oscilación : ${\displaystyle 2\omega }$ ${\displaystyle 3\omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega _{0}}$ ${\displaystyle \Delta \omega =\omega -\omega _{0}}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \Delta \omega \propto A^{2}}$

En un sistema de osciladores con frecuencias naturales , ... la anarmonicidad da como resultado oscilaciones adicionales con frecuencias . ${\displaystyle \omega _{\alpha }}$ ${\displaystyle \omega _{\beta }}$ ${\displaystyle \omega _{\alpha }\pm \omega _{\beta }}$

La anarmonicidad también modifica el perfil energético de la curva de resonancia, dando lugar a fenómenos interesantes como el efecto foldover y la resonancia superarmónica .

Principio general

Péndulo elástico de 2 grados de libertad que presenta un comportamiento anarmónico.

Osciladores armónicos y anarmónicos

Un oscilador es un sistema físico que se caracteriza por un movimiento periódico, como un péndulo, un diapasón o una molécula diatómica vibrante . Matemáticamente hablando, la característica esencial de un oscilador es que, para alguna coordenada x del sistema, una fuerza cuya magnitud depende de x empujará a x lejos de los valores extremos y de regreso hacia algún valor central x ₀ , lo que hará que x oscile entre extremos. Por ejemplo, x puede representar el desplazamiento de un péndulo desde su posición de reposo x = 0 . A medida que aumenta el valor absoluto de x , también lo hace la fuerza restauradora que actúa sobre el peso del péndulo y lo empuja de regreso hacia su posición de reposo.

En los osciladores armónicos, la fuerza restauradora es proporcional en magnitud (y opuesta en dirección) al desplazamiento de x desde su posición natural x ₀ . La ecuación diferencial resultante implica que x debe oscilar sinusoidalmente a lo largo del tiempo, con un período de oscilación inherente al sistema. x puede oscilar con cualquier amplitud, pero siempre tendrá el mismo período.

Los osciladores anarmónicos, sin embargo, se caracterizan por la dependencia no lineal de la fuerza restauradora con respecto al desplazamiento x. En consecuencia, el período de oscilación del oscilador anarmónico puede depender de su amplitud de oscilación.

Como resultado de la no linealidad de los osciladores anarmónicos, la frecuencia de vibración puede cambiar, dependiendo del desplazamiento del sistema. Estos cambios en la frecuencia de vibración dan como resultado que la energía se acople de la frecuencia de vibración fundamental a otras frecuencias a través de un proceso conocido como acoplamiento paramétrico. ^{[ aclaración necesaria ]}

Si consideramos la fuerza restauradora no lineal como una función F ( x − x ₀ ) del desplazamiento de x desde su posición natural, podemos reemplazar F por su aproximación lineal F ₁ = F′ (0) ⋅ ( x − x ₀ ) en desplazamiento cero. La función de aproximación F ₁ es lineal, por lo que describirá el movimiento armónico simple. Además, esta función F ₁ es precisa cuando x − x ₀ es pequeño. Por esta razón, el movimiento anarmónico puede aproximarse como movimiento armónico siempre que las oscilaciones sean pequeñas.

Ejemplos en física

Existen muchos sistemas en el mundo físico que pueden modelarse como osciladores anarmónicos, además del sistema no lineal de masa-resorte. Por ejemplo, un átomo, que consta de un núcleo cargado positivamente rodeado de una nube electrónica cargada negativamente, experimenta un desplazamiento entre el centro de masa del núcleo y la nube electrónica cuando hay un campo eléctrico presente. La cantidad de ese desplazamiento, llamado momento dipolar eléctrico, está relacionada linealmente con el campo aplicado para campos pequeños, pero a medida que aumenta la magnitud del campo, la relación campo-momento dipolar se vuelve no lineal, al igual que en el sistema mecánico.

Otros ejemplos de osciladores anarmónicos incluyen el péndulo de gran ángulo; semiconductores fuera de equilibrio que poseen una gran población de portadores calientes, que exhiben comportamientos no lineales de varios tipos relacionados con la masa efectiva de los portadores; y plasmas ionosféricos, que también exhiben un comportamiento no lineal basado en la anarmonicidad del plasma, cuerdas oscilantes transversales . De hecho, prácticamente todos los osciladores se vuelven anarmónicos cuando su amplitud de bombeo aumenta más allá de cierto umbral y, como resultado, es necesario utilizar ecuaciones de movimiento no lineales para describir su comportamiento.

La anarmonicidad juega un papel en las vibraciones reticulares y moleculares, en las oscilaciones cuánticas ^[1] y en la acústica . Los átomos en una molécula o un sólido vibran alrededor de sus posiciones de equilibrio. Cuando estas vibraciones tienen pequeñas amplitudes pueden describirse mediante osciladores armónicos . Sin embargo, cuando las amplitudes vibracionales son grandes, por ejemplo a altas temperaturas, la anarmonicidad se vuelve importante. Un ejemplo de los efectos de la anarmonicidad es la expansión térmica de los sólidos, que generalmente se estudia dentro de la aproximación cuasi armónica . Estudiar sistemas anarmónicos vibrantes utilizando la mecánica cuántica es una tarea computacionalmente exigente porque la anarmonicidad no solo hace que el potencial experimentado por cada oscilador sea más complicado, sino que también introduce acoplamiento entre los osciladores. Es posible utilizar métodos de primeros principios como la teoría funcional de la densidad para mapear el potencial anarmónico experimentado por los átomos tanto en moléculas ^[2] como en sólidos. ^[3] Se pueden obtener energías vibracionales anarmónicas precisas resolviendo las ecuaciones vibracionales anarmónicas para los átomos dentro de una teoría de campo medio . Finalmente, es posible utilizar la teoría de perturbación de Møller-Plesset para ir más allá del formalismo de campo medio.

Periodo de oscilaciones

Consideremos una masa que se mueve en un pozo de potencial . El período de oscilación se puede derivar ^[4] donde los extremos del movimiento están dados por y . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle U(x)}$ $${\displaystyle T={\sqrt {2m}}\int _{x_{-}}^{x_{+}}{\frac {dx}{\sqrt {E-U(x)}}}}$$ ${\displaystyle x_{-}<x<x_{+}}$ ${\displaystyle U(x_{-})=U(x_{+})=E}$

Véase también

• Inarmonicidad
• Oscilador armónico
• Acústica musical
• Resonancia no lineal
• Transmón

Referencias

• Landau, LD ; Lifshitz, EM (1976), Mecánica (3.ª ed.), Pergamon Press, ISBN 978-0-08-021022-3
• Filipponi, A.; Cavicchia, DR (2011), "Dinámica anarmónica de un oscilador de masa O-resorte", American Journal of Physics , 79 (7): 730–735, Bibcode :2011AmJPh..79..730F, doi :10.1119/1.3579129

1. Lim, Kieran F.; Coleman, William F. (agosto de 2005), "El efecto de la anarmonicidad en la vibración diatómica: una simulación en hoja de cálculo", J. Chem. Educ. , 82 (8): 1263, Bibcode :2005JChEd..82.1263F, doi : 10.1021/ed082p1263.1
2. Jung, JO; Benny Gerber, R. (1996), "Funciones de onda vibracionales y espectroscopia de (H ₂ O) _n , n = 2,3,4,5: campo vibracional autoconsistente con correcciones de correlación", J. Chem. Phys. , 105 (23): 10332, Bibcode :1996JChPh.10510332J, doi :10.1063/1.472960
3. Monserrat, B.; Drummond, ND; Needs, RJ (2013), "Propiedades vibracionales anarmónicas en sistemas periódicos: energía, acoplamiento electrón-fonón y estrés", Phys. Rev. B , 87 (14): 144302, arXiv : 1303.0745 , Bibcode :2013PhRvB..87n4302M, doi :10.1103/PhysRevB.87.144302, S2CID  118687212
4. Amore, Paolo; Fernández, Francisco M. (2005). "Expresiones exactas y aproximadas para el periodo de osciladores anarmónicos". Revista Europea de Física . 26 (4): 589–601. arXiv : math-ph/0409034 . Código Bibliográfico :2005EJPh...26..589A. doi :10.1088/0143-0807/26/4/004. S2CID  119615357.

Enlaces externos

• Elmer, Franz-Josef (20 de julio de 1998), Resonancia no lineal, Universidad de Basilea , archivado desde el original el 13 de junio de 2011 , consultado el 28 de octubre de 2010