En álgebra lineal , la ortogonalización es el proceso de encontrar un conjunto de vectores ortogonales que abarcan un subespacio particular . Formalmente, comenzando con un conjunto linealmente independiente de vectores { v 1 , ... , v k } en un espacio de producto interno (más comúnmente el espacio euclidiano R n ), la ortogonalización da como resultado un conjunto de vectores ortogonales { u 1 , ... , u k } que generan el mismo subespacio que los vectores v 1 , ... , v k . Cada vector en el nuevo conjunto es ortogonal a todos los demás vectores en el nuevo conjunto; y el nuevo conjunto y el antiguo conjunto tienen el mismo espacio lineal .
Además, si queremos que todos los vectores resultantes sean vectores unitarios , entonces normalizamos cada vector y el procedimiento se llama ortonormalización .
La ortogonalización también es posible con respecto a cualquier forma bilineal simétrica (no necesariamente un producto interno, no necesariamente sobre números reales ), pero los algoritmos estándar pueden encontrar la división por cero en este entorno más general.
Los métodos para realizar la ortogonalización incluyen:
Al realizar la ortogonalización en una computadora, generalmente se prefiere la transformación de Householder al proceso de Gram-Schmidt ya que es numéricamente más estable , es decir, los errores de redondeo tienden a tener efectos menos graves.
Por otra parte, el proceso de Gram-Schmidt produce el j-ésimo vector ortogonalizado después de la j-ésima iteración, mientras que la ortogonalización mediante reflexiones de Householder produce todos los vectores solo al final. Esto hace que solo el proceso de Gram-Schmidt sea aplicable para métodos iterativos como la iteración de Arnoldi .
La rotación de Givens se paraleliza más fácilmente que las transformaciones de Householder.
La ortogonalización simétrica fue formulada por Per-Olov Löwdin . [1]
Para compensar la pérdida de señal útil en los métodos tradicionales de atenuación de ruido debido a una selección incorrecta de parámetros o a la inadecuación de los supuestos de eliminación de ruido , se puede aplicar un operador de ponderación en la sección eliminada de ruido inicialmente para recuperar la señal útil de la sección de ruido inicial. El nuevo proceso de eliminación de ruido se conoce como ortogonalización local de señal y ruido. [2] Tiene una amplia gama de aplicaciones en muchos campos de procesamiento de señales y exploración sísmica .
