En geometría , un ortosquema de Schläfli es un tipo de simplex . El ortosquema es la generalización del triángulo rectángulo a figuras simples de cualquier número de dimensiones. Los ortoesquemas se definen por una secuencia de aristas que son mutuamente ortogonales . Fueron introducidos por Ludwig Schläfli , quien los llamó ortoesquemas y estudió su volumen en geometrías euclidianas , hiperbólicas y esféricas . Más tarde, HSM Coxeter les puso el nombre de Schläfli. Así como los triángulos rectángulos proporcionan la base de la trigonometría , los ortoesquemas forman la base de una trigonometría de n dimensiones, tal como la desarrolló Schoute , quien la llamó poligonometría . [1] J.-P. Sydler y Børge Jessen estudiaron extensamente los ortoesquemas en relación con el tercer problema de Hilbert .
Los ortoesquemas, también llamados caminos simples en la literatura de matemáticas aplicadas , son un caso especial de una clase más general de simples estudiados por Fiedler , [2] y posteriormente redescubiertos por Coxeter . [3] Estos simples son las cáscaras convexas de los árboles en las que todos los bordes son mutuamente perpendiculares. En un ortosquema, el árbol subyacente es un camino .
En tres dimensiones, un ortoesquema también se llama tetraedro birectangular (porque su trayectoria forma dos ángulos rectos en los vértices, cada uno de los cuales tiene dos ángulos rectos) o tetraedro cuadrirrectangular (porque contiene cuatro ángulos rectos). [4]
Hugo Hadwiger conjeturó en 1956 que cada simplex puede diseccionarse en un número finito de ortoesquemas. [7] La conjetura ha sido probada en espacios de cinco o menos dimensiones, [8] pero sigue sin resolverse en dimensiones superiores. [9]
La conjetura de Hadwiger implica que todo politopo convexo puede diseccionarse en ortosquemas.
Coxeter identifica varios ortoesquemas como los símplex característicos de los politopos que generan mediante reflexiones. [10] El símplex característico es el componente fundamental del politopo. Puede replicarse mediante reflexiones o rotaciones para construir el politopo, del mismo modo que el politopo puede diseccionarse en algún número entero del mismo. El símplex característico es quiral (se presenta en dos formas especulares que son diferentes) y el politopo se disecciona en un número igual de ejemplares izquierdo y derecho. Tiene longitudes de aristas y caras diferentes, en lugar de las caras de triángulos equiláteros del simplex regular. Cuando el politopo es regular, su símplex característico es un ortosquema, un símplex con sólo caras de triángulo rectángulo.
Cada politopo regular tiene su ortosquema característico que es su región fundamental , el simplex irregular que tiene exactamente las mismas características de simetría que el politopo regular pero las captura todas sin repetición. [11] Para un k -politopo regular , el diagrama de Coxeter-Dynkin del ortoesquema k característico es el diagrama del k -politopo sin el anillo del punto generador . El k- politopo regular se subdivide por sus elementos de simetría ( k -1) en g instancias de su k- ortosquema característico que rodean su centro, donde g es el orden del grupo de simetría del k -politopo . Esta es una subdivisión baricéntrica .
Procedemos a describir la "subdivisión simplicial" de un politopo regular, comenzando por el caso unidimensional. El segmento 𝚷 1 se divide en dos partes iguales por su centro 𝚶 1 . El polígono 𝚷 2 = { p } se divide por sus ejes de simetría en 2 p triángulos rectángulos, que unen el centro 𝚶 2 con los lados subdivididos de manera simple. El poliedro 𝚷 3 = { p, q } está dividido por sus planos de simetría en g tetraedros cuadrirrectangulares (ver 5.43), que unen el centro 𝚶 3 con las caras subdivididas de manera simple. De manera análoga, el politopo regular general 𝚷 n se divide en una serie de símplex congruentes ([ortoesquemas]) que unen el centro 𝚶 n a las celdas subdivididas de manera simple. [5]
