Anillo ordenado

Los números reales son un anillo ordenado que es también un cuerpo ordenado . Los números enteros , un subconjunto de los números reales, son un anillo ordenado que no es un cuerpo ordenado.

En álgebra abstracta , un anillo ordenado es un anillo R (generalmente conmutativo ) con un orden total ≤ tal que para todos a , b y c en R : ^[1]

• si a ≤ b entonces a + c ≤ b + c .
• si 0 ≤ a y 0 ≤ b entonces 0 ≤ ab .

Ejemplos

Los anillos ordenados son familiares en la aritmética . Algunos ejemplos son los números enteros , los racionales y los números reales . ^[2] (De hecho, los racionales y los reales forman cuerpos ordenados ). Los números complejos , por el contrario, no forman un anillo o cuerpo ordenado, porque no hay una relación de orden inherente entre los elementos 1 e i .

Elementos positivos

En analogía con los números reales, llamamos a un elemento c de un anillo ordenado R positivo si 0 < c , y negativo si c < 0. 0 no se considera ni positivo ni negativo.

El conjunto de elementos positivos de un anillo ordenado R se suele denotar por R ₊ . Una notación alternativa, preferida en algunas disciplinas, es utilizar R ₊ para el conjunto de elementos no negativos y R ₊₊ para el conjunto de elementos positivos.

Valor absoluto

Si es un elemento de un anillo ordenado R , entonces el valor absoluto de , denotado , se define así: ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle |a|}$

${\displaystyle |a|:={\begin{cases}a,&{\mbox{if }}0\leq a,\\-a,&{\mbox{otherwise}},\end{cases}}}$

donde es el inverso aditivo de y 0 es el elemento identidad aditivo . ${\displaystyle -a}$ ${\displaystyle a}$

Anillos ordenados discretos

Un anillo ordenado discreto o anillo discretamente ordenado es un anillo ordenado en el que no hay ningún elemento entre 0 y 1. Los números enteros son un anillo ordenado discreto, pero los números racionales no lo son.

Propiedades básicas

Para todos a , b y c en R :

• Si a ≤ b y 0 ≤ c , entonces ac ≤ bc . ^[3] Esta propiedad a veces se utiliza para definir anillos ordenados en lugar de la segunda propiedad en la definición anterior.
• | ab | = | a | | b |. ^[4]
• Un anillo ordenado que no es trivial es infinito. ^[5]
• Exactamente una de las siguientes es verdadera: a es positivo, − a es positivo o a = 0. ^[6] Esta propiedad se deduce del hecho de que los anillos ordenados son grupos abelianos , ordenados linealmente con respecto a la adición.
• En un anillo ordenado, ningún elemento negativo es un cuadrado: ^[7] En primer lugar, 0 es cuadrado. Ahora bien, si a ≠ 0 y a = b ² entonces b ≠ 0 y a = (− b ) ² ; como b o − b son positivos, a debe ser no negativo.

Véase también

• Campo ordenado  – Objeto algebraico con una estructura ordenada
• Grupo ordenado  – Grupo con un orden parcial compatiblePáginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento
• Espacio vectorial topológico ordenado
• Espacio vectorial ordenado  – Espacio vectorial con un orden parcial
• Anillo parcialmente pedido  – Anillo con un pedido parcial compatible
• Espacio parcialmente ordenado  – Espacio topológico parcialmente ordenado
• Espacio de Riesz  : espacio vectorial parcialmente ordenado, ordenado como una red, también llamado red vectorial.
• Semianillos ordenados

Notas

La siguiente lista incluye referencias a teoremas verificados formalmente por el proyecto IsarMathLib.

1. Lam, TY (1983), Ordenamientos, valoraciones y formas cuadráticas , Serie de conferencias regionales CBMS en matemáticas, vol. 52, American Mathematical Society , ISBN 0-8218-0702-1, Zbl0516.12001 ​
2. * Lam, TY (2001), Un primer curso sobre anillos no conmutativos , Graduate Texts in Mathematics, vol. 131 (2.ª ed.), Nueva York: Springer-Verlag, pp. xx+385, ISBN 0-387-95183-0, MR  1838439, Zbl  0980.16001
3. Anillo de orden_ZF_1_L9
4. Anillo de orden_ZF_2_L5
5. anillo de orden infinito
6. OrdRing_ZF_3_L2, véase también OrdGroup_decomp
7. Anillo de orden_ZF_1_L12