Optimización de forma

Problema de encontrar la forma óptima en determinadas condiciones.

La optimización de la forma es parte del campo de la teoría del control óptimo . El problema típico es encontrar la forma que sea óptima en el sentido de que minimice un cierto costo funcional y al mismo tiempo satisfaga restricciones dadas . En muchos casos, el funcional que se resuelve depende de la solución de una ecuación diferencial parcial dada definida en el dominio variable.

La optimización de la topología se ocupa, además, del número de componentes/límites conectados que pertenecen al dominio. Estos métodos son necesarios ya que normalmente los métodos de optimización de formas funcionan en un subconjunto de formas permitidas que tienen propiedades topológicas fijas, como tener un número fijo de agujeros. Las técnicas de optimización topológica pueden ayudar a solucionar las limitaciones de la optimización de formas puras.

Definición

Matemáticamente , la optimización de la forma se puede plantear como el problema de encontrar un conjunto acotado , minimizando un funcional ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle {\mathcal {F}}(\Omega )}$,

posiblemente sujeto a una restricción de la forma

${\displaystyle {\mathcal {G}}(\Omega )=0.}$

Por lo general, nos interesan conjuntos que son límites de Lipschitz o C ¹ y constan de un número finito de componentes , lo que es una forma de decir que nos gustaría encontrar una forma bastante agradable como solución, no un revoltijo de fragmentos y piezas toscos. A veces es necesario imponer restricciones adicionales con ese fin para garantizar que el problema esté bien planteado y la solución sea única. ${\displaystyle \Omega }$

La optimización de formas es un problema de optimización de dimensiones infinitas . Además, el espacio de formas permitidas sobre el que se realiza la optimización no admite una estructura de espacio vectorial , lo que dificulta la aplicación de los métodos de optimización tradicionales.

Ejemplos

• Entre todas las formas tridimensionales de un volumen dado, encuentre la que tenga una superficie mínima. Aquí:

  ${\displaystyle {\mathcal {F}}(\Omega )={\mbox{Area}}(\partial \Omega )}$,

  con

  ${\displaystyle {\mathcal {G}}(\Omega )={\mbox{Volume}}(\Omega )={\mbox{const.}}}$

  La respuesta, dada por la desigualdad isoperimétrica , es una pelota .
• Encuentre la forma del ala de un avión que minimice la resistencia . Aquí las limitaciones podrían ser la resistencia del ala o las dimensiones del ala.
• Encuentre la forma de varias estructuras mecánicas que pueden resistir un esfuerzo determinado teniendo una masa/volumen mínimo.
• Dado un objeto tridimensional conocido con una fuente de radiación fija en su interior, deduzca la forma y el tamaño de la fuente basándose en las mediciones realizadas en parte del límite del objeto. Una formulación de este problema inverso utilizando un ajuste de mínimos cuadrados conduce a un problema de optimización de la forma.

Técnicas

Los problemas de optimización de formas generalmente se resuelven numéricamente mediante el uso de métodos iterativos . Es decir, se comienza con una suposición inicial de una forma y luego se evoluciona gradualmente hasta que se transforma en la forma óptima.

Seguimiento de la forma

Para resolver un problema de optimización de formas, es necesario encontrar una manera de representar una forma en la memoria de la computadora y seguir su evolución. Generalmente se utilizan varios enfoques.

Un enfoque es seguir el límite de la forma. Para ello, se puede muestrear el límite de la forma de una manera relativamente densa y uniforme, es decir, considerar suficientes puntos para obtener un contorno suficientemente preciso de la forma. Luego, se puede evolucionar la forma moviendo gradualmente los puntos límite. A esto se le llama enfoque lagrangiano .

Otro enfoque es considerar una función definida en un cuadro rectangular alrededor de la forma, que es positiva dentro de la forma, cero en el límite de la forma y negativa fuera de la forma. Entonces se puede desarrollar esta función en lugar de la forma misma. Se puede considerar una cuadrícula rectangular en la caja y probar la función en los puntos de la cuadrícula. A medida que la forma evoluciona, los puntos de la cuadrícula no cambian; sólo cambian los valores de la función en los puntos de la cuadrícula. Este enfoque, que consiste en utilizar una cuadrícula fija, se denomina enfoque euleriano . La idea de utilizar una función para representar la forma está en la base del método de conjunto de niveles .

Un tercer enfoque es pensar en la evolución de la forma como un problema de flujo. Es decir, se puede imaginar que la forma está hecha de un material plástico que se deforma gradualmente de manera que cualquier punto dentro o en el límite de la forma siempre se puede rastrear hasta un punto de la forma original de manera uno a uno. Matemáticamente, si es la forma inicial y es la forma en el tiempo t , se consideran los difeomorfismos ${\displaystyle \Omega _{0}}$ ${\displaystyle \Omega _{t}}$

${\displaystyle f_{t}:\Omega _{0}\to \Omega _{t},{\mbox{ for }}0\leq t\leq t_{0}.}$

La idea es nuevamente que las formas son entidades difíciles de tratar directamente, así que manipúlalas mediante una función.

Métodos iterativos que utilizan gradientes de forma.

Considere un campo de velocidades suave y la familia de transformaciones del dominio inicial bajo el campo de velocidades : ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle T_{s}}$ ${\displaystyle \Omega _{0}}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle x(0)=x_{0}\in \Omega _{0},\quad x'(s)=V(x(s)),\quad T_{s}(x_{0})=x(s),\quad s\geq 0}$,

y denotar

${\displaystyle \Omega _{0}\mapsto T_{s}(\Omega _{0})=\Omega _{s}.}$

Entonces el Gâteaux o forma derivada de at con respecto a la forma es el límite de ${\displaystyle {\mathcal {F}}(\Omega )}$ ${\displaystyle \Omega _{0}}$

${\displaystyle d{\mathcal {F}}(\Omega _{0};V)=\lim _{s\to 0}{\frac {{\mathcal {F}}(\Omega _{s})-{\mathcal {F}}(\Omega _{0})}{s}}}$

si este límite existe. Si además la derivada es lineal con respecto a , existe un elemento único de y ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \nabla {\mathcal {F}}\in L^{2}(\partial \Omega _{0})}$

${\displaystyle d{\mathcal {F}}(\Omega _{0};V)=\langle \nabla {\mathcal {F}},V\rangle _{\partial \Omega _{0}}}$

donde se llama gradiente de forma. Esto da una idea natural del descenso del gradiente , donde el límite evoluciona en la dirección del gradiente de forma negativa para reducir el valor del costo funcional. Las derivadas de orden superior se pueden definir de manera similar, lo que lleva a métodos similares a los de Newton. ${\displaystyle \nabla {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$

Por lo general, se prefiere el descenso de gradiente, incluso si requiere una gran cantidad de iteraciones, porque puede ser difícil calcular la derivada de segundo orden (es decir, la hessiana ) del funcional objetivo . ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Si el problema de optimización de forma tiene restricciones, es decir, el funcional está presente, hay que encontrar formas de convertir el problema restringido en uno no restringido. A veces, las ideas basadas en multiplicadores de Lagrange , como el método del estado adjunto , pueden funcionar. ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Parametrización de geometría

La optimización de la forma se puede afrontar utilizando métodos de optimización estándar si se define una parametrización de la geometría. Esta parametrización es muy importante en el campo CAE donde las funciones objetivo suelen ser funciones complejas evaluadas mediante modelos numéricos (CFD, FEA,...). Un enfoque conveniente, adecuado para una amplia clase de problemas, consiste en la parametrización del modelo CAD junto con una automatización completa de todo el proceso requerido para la evaluación de funciones (mallado, resolución y procesamiento de resultados). La transformación de malla es una opción válida para problemas complejos que resuelve problemas típicos asociados con el cambio de malla, como las discontinuidades en las funciones objetivo y de restricción calculadas.

En este caso la parametrización se define después de la etapa de mallado actuando directamente sobre el modelo numérico utilizado para el cálculo que se modifica mediante métodos de actualización de malla. Hay varios algoritmos disponibles para transformar mallas (volúmenes deformantes, pseudosólidos, funciones de base radial ). La selección del enfoque de parametrización depende principalmente del tamaño del problema: el enfoque CAD se prefiere para modelos de tamaño pequeño a mediano, mientras que el enfoque de transformación de malla es el mejor (y a veces el único factible) para modelos grandes y muy grandes. . La optimización de Pareto multiobjetivo (NSGA II) podría utilizarse como un enfoque poderoso para la optimización de la forma. En este sentido, el enfoque de optimización de Pareto muestra ventajas útiles en el método de diseño, como el efecto de la restricción de área, que otras optimizaciones multiobjetivo no pueden declarar. El enfoque de utilizar una función de penalización es una técnica eficaz que podría utilizarse en la primera etapa de optimización. En este método, el problema de diseño de forma restringida se adapta a un problema no restringido utilizando las restricciones en la función objetivo como factor de penalización. La mayoría de las veces, el factor de penalización depende de la cantidad de variación de la restricción más que del número de la restricción. En el presente problema de optimización se aplica la técnica GA de codificación real. Por tanto, los cálculos se basan en el valor real de las variables. ^[1]

Ver también

• código SU2
• Derivada topológica
• Optimización de topología

Referencias

1. Talebitooti, ​​R.; shojaeefard, MH; Yarmohammadisatri, Sadegh (2015). "Optimización del diseño de forma de tanque cilíndrico mediante curvas b-spline". Computadora y Fluidos . 109 : 100-112. doi :10.1016/j.compfluid.2014.12.004.

Fuentes

• Allaire, G. (2002) Optimización de la forma por el método de homogeneización . Ciencias Matemáticas Aplicadas 146, Springer Verlag. ISBN 0-387-95298-5 
• Ashok D. Belegundu, Tirupathi R. Chandrupatla. (2003) Conceptos y aplicaciones de optimización en ingeniería Prentice Hall. ISBN 0-13-031279-7 . 
• diputado de Bendsøe; Sigmund O. (2003) Optimización de topología: teoría, métodos y aplicaciones . Saltador. ISBN 3-540-42992-1 . 
• Hamburguesa, M.; Osher, SL (2005) Una encuesta sobre métodos de conjuntos de niveles para problemas inversos y diseño óptimo . Revista europea de matemáticas aplicadas, vol.16 págs. 263–301.
• Delfour, MC; Zolesio, J.-P. (2001) Formas y geometrías: análisis, cálculo diferencial y optimización . SIAM. ISBN 0-89871-489-3 . 
• Haslinger, J.; Mäkinen, R. (2003) Introducción a la optimización de formas: teoría, aproximación y computación . Sociedad de Matemática Industrial y Aplicada. ISBN 0-89871-536-9 . 
• Laporte, E.; Le Tallec, P. (2003) Métodos numéricos en análisis de sensibilidad y optimización de formas . Birkhäuser. ISBN 0-8176-4322-2 . 
• Mohammadi, B.; Pironneau, O. (2001) Optimización de forma aplicada a fluidos . Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 0-19-850743-7 . 
• Simon J. (1980) Diferenciación con respecto al dominio en problemas de valores en la frontera . Número. Fucto. Anal. y Optimiz., 2(7 y 8), 649-687 (1980).

enlaces externos

• Grupo Optopo — Simulaciones y bibliografía del grupo optopo en la Ecole Polytechnique (Francia). Método de homogeneización y método de fijación de niveles.