Operador antiunitario

Aplicación antilineal biyectiva entre dos espacios de Hilbert complejos

En matemáticas , una transformación antiunitaria es una función antilineal biyectiva .

${\displaystyle U:H_{1}\to H_{2}\,}$

entre dos espacios de Hilbert complejos tales que

${\displaystyle \langle Ux,Uy\rangle ={\overline {\langle x,y\rangle }}}$

para todos y en , donde la barra horizontal representa el conjugado complejo . Si además se tiene entonces se llama operador antiunitario . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{1}=H_{2}}$ ${\displaystyle U}$

Los operadores antiunitarios son importantes en la mecánica cuántica porque se utilizan para representar ciertas simetrías , como la inversión del tiempo . ^[1] Su importancia fundamental en la física cuántica queda demostrada además por el teorema de Wigner .

Transformaciones de invariancia

En mecánica cuántica , las transformaciones de invariancia del espacio de Hilbert complejo dejan invariante el valor absoluto del producto escalar: ${\displaystyle H}$

${\displaystyle |\langle Tx,Ty\rangle |=|\langle x,y\rangle |}$

para todos y en . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle H}$

Debido al teorema de Wigner, estas transformaciones pueden ser unitarias o antiunitarias.

Interpretación geométrica

Las congruencias del plano forman dos clases distintas. La primera conserva la orientación y se genera por traslaciones y rotaciones. La segunda no conserva la orientación y se obtiene a partir de la primera clase aplicando una reflexión. En el plano complejo estas dos clases corresponden (hasta la traslación) a unitarias y antiunitarias, respectivamente.

Propiedades

• ${\displaystyle \langle Ux,Uy\rangle ={\overline {\langle x,y\rangle }}=\langle y,x\rangle }$se cumple para todos los elementos del espacio de Hilbert y un antiunitario . ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle U}$
• Cuando es antiunitario entonces es unitario. Esto se deduce de ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U^{2}}$ $${\displaystyle \left\langle U^{2}x,U^{2}y\right\rangle ={\overline {\langle Ux,Uy\rangle }}=\langle x,y\rangle .}$$
• Para el operador unitario , el operador , donde es una conjugación compleja (con respecto a alguna base ortogonal), es antiunitario. Lo inverso también es cierto, para antiunitario el operador es unitario. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle VK}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle UK}$
• Para antiunitario se cambia la definición del operador adjunto para compensar la conjugación compleja, quedando así ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U^{*}}$ $${\displaystyle \langle Ux,y\rangle ={\overline {\left\langle x,U^{*}y\right\rangle }}.}$$
• El adjunto de un antiunitario también es antiunitario y (Esto no debe confundirse con la definición de operadores unitarios , ya que el operador antiunitario no es lineal complejo ). ${\displaystyle U}$ $${\displaystyle UU^{*}=U^{*}U=1.}$$ ${\displaystyle U}$

Ejemplos

• El operador de conjugación complejo es un operador antiunitario en el plano complejo. ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle Kz={\overline {z}},}$
• El operador donde es la segunda matriz de Pauli y es el operador de conjugación complejo, es antiunitario. Satisface . $${\displaystyle U=i\sigma _{y}K={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}K,}$$ ${\displaystyle \sigma _{y}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle U^{2}=-1}$

Descomposición de un operador antiunitario en una suma directa de antiunitarios elementales de Wigner

Un operador antiunitario en un espacio de dimensión finita puede descomponerse como una suma directa de antiunitarios de Wigner elementales , . El operador es simplemente una conjugación compleja simple en ${\displaystyle W_{\theta }}$ ${\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi }$ ${\displaystyle W_{0}:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle W_{0}(z)={\overline {z}}}$

Para , el operador actúa sobre el espacio de Hilbert complejo bidimensional. Se define por ${\displaystyle 0<\theta \leq \pi }$ ${\displaystyle W_{\theta }}$

${\displaystyle W_{\theta }\left(\left(z_{1},z_{2}\right)\right)=\left(e^{{\frac {i}{2}}\theta }{\overline {z_{2}}},\;e^{-{\frac {i}{2}}\theta }{\overline {z_{1}}}\right).}$

Tenga en cuenta que para ${\displaystyle 0<\theta \leq \pi }$

${\displaystyle W_{\theta }\left(W_{\theta }\left(\left(z_{1},z_{2}\right)\right)\right)=\left(e^{i\theta }z_{1},e^{-i\theta }z_{2}\right),}$

Por lo tanto, no se puede descomponer aún más en 's, que cuadran con el mapa de identidad. ${\displaystyle W_{\theta }}$ ${\displaystyle W_{0}}$

Obsérvese que la descomposición anterior de operadores antiunitarios contrasta con la descomposición espectral de operadores unitarios. En particular, un operador unitario en un espacio de Hilbert complejo puede descomponerse en una suma directa de operadores unitarios que actúan en espacios complejos unidimensionales (espacios propios), pero un operador antiunitario solo puede descomponerse en una suma directa de operadores elementales en espacios complejos unidimensionales y bidimensionales.

Referencias

1. Peskin, Michael Edward (2019). Introducción a la teoría cuántica de campos. Daniel V. Schroeder. Boca Raton. ISBN 978-0-201-50397-5.OCLC 1101381398  .{{cite book}}: Mantenimiento de CS1: falta la ubicación del editor ( enlace )

• Wigner, E. "Forma normal de operadores antiunitarios", Journal of Mathematical Physics, vol. 1, n.º 5, 1960, págs. 409-412
• Wigner, E. "Distinción fenomenológica entre operadores de simetría unitarios y antiunitarios", Journal of Mathematical Physics, vol. 1, n.º 5, 1960, págs. 414-416

Véase también

• Operador unitario
• Teorema de Wigner
• Física de partículas y teoría de la representación