En matemáticas, un sistema lagrangiano es un par ( Y , L ) , que consiste en un haz de fibras suaves Y → X y una densidad lagrangiana L , que produce el operador diferencial de Euler-Lagrange que actúa sobre secciones de Y → X .
En mecánica clásica , muchos sistemas dinámicos son sistemas lagrangianos. El espacio de configuración de un sistema lagrangiano de este tipo es un haz de fibras sobre el eje del tiempo . En particular, si se fija un marco de referencia. En la teoría clásica de campos , todos los sistemas de campos son lagrangianos.
Lagrangianos y operadores de Euler-Lagrange
Una densidad lagrangiana L (o, simplemente, un lagrangiano ) de orden r se define como una n -forma , n = dim X , en la variedad de jets de orden r J r Y de Y .
Un lagrangiano L puede introducirse como un elemento del bicomplejo variacional del álgebra graduada diferencial O ∗ ∞ ( Y ) de formas exteriores en variedades jet de Y → X . El operador colímite de este bicomplejo contiene el operador variacional δ que, actuando sobre L , define el operador de Euler-Lagrange asociado δL .
En coordenadas
Dadas las coordenadas del haz x λ , y i en un haz de fibras Y y las coordenadas adaptadas x λ , y i , y i Λ , (Λ = ( λ 1 , ..., λ k ) , |Λ| = k ≤ r ) en las variedades de chorro J r Y , un lagrangiano L y su operador de Euler-Lagrange se leen
dónde
denotan las derivadas totales.
Por ejemplo, un lagrangiano de primer orden y su operador de Euler-Lagrange de segundo orden toman la forma
Ecuaciones de Euler-Lagrange
El núcleo de un operador de Euler-Lagrange proporciona las ecuaciones de Euler-Lagrange δL = 0 .
Cohomología y teoremas de Noether
La cohomología del bicomplejo variacional conduce a la llamada fórmula variacional.
dónde
es el diferencial total y θ L es un equivalente de Lepage de L . El primer teorema de Noether y el segundo teorema de Noether son corolarios de esta fórmula variacional.
Colectores graduados
Extendido a variedades graduadas , el bicomplejo variacional proporciona una descripción de sistemas lagrangianos graduados de variables pares e impares. [1]
Formulaciones alternativas
De otra manera, se introducen los lagrangianos, los operadores de Euler-Lagrange y las ecuaciones de Euler-Lagrange en el marco del cálculo de variaciones .
Mecánica clásica
En mecánica clásica, las ecuaciones de movimiento son ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden sobre una variedad M o varios haces de fibras Q sobre . Una solución de las ecuaciones de movimiento se denomina ecuación de movimiento . [2] [3]
Véase también
Referencias
- ^ Sardanashvily 2013
- ^ Arnold 1989, pág. 83
- ^ Giachetta, Mangiarotti y Sardanashvily 2011, p. 7
- Arnold, VI (1989), Métodos matemáticos de mecánica clásica , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 60 (segunda edición), Springer-Verlag , ISBN 0-387-96890-3
- Giachetta, G.; Mangiarotti, L.; Sardanashvily, G. (1997). Nuevos métodos lagrangianos y hamiltonianos en teoría de campos . World Scientific . ISBN 981-02-1587-8.
- Giachetta, G.; Mangiarotti, L.; Sardanashvily, G. (2011). Formulación geométrica de la mecánica clásica y cuántica . World Scientific. doi :10.1142/7816. hdl :11581/203967. ISBN . 978-981-4313-72-8.
- Olver, P. (1993). Aplicaciones de los grupos de Lie a ecuaciones diferenciales (2.ª ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-94007-3.
- Sardanashvily, G. (2013). "Formalismo lagrangiano graduado". Int. J. Geom. Methods Mod. Phys . 10 (5). World Scientific: 1350016. arXiv : 1206.2508 . doi :10.1142/S0219887813500163. ISSN 0219-8878.
Enlaces externos
- Sardanashvily, G. (2009). "Fibras, variedades de chorro y teoría de Lagrange. Lecciones para teóricos". arXiv : 0908.1886 . Código Bibliográfico :2009arXiv0908.1886S.