Álgebra de conjuntos

Identidades y relaciones que involucran conjuntos.

En matemáticas , el álgebra de conjuntos , que no debe confundirse con la estructura matemática de un álgebra de conjuntos , define las propiedades y leyes de los conjuntos , las operaciones teóricas de conjuntos de unión , intersección y complementación y las relaciones de igualdad de conjuntos y conjuntos. inclusión . También proporciona procedimientos sistemáticos para evaluar expresiones y realizar cálculos que involucran estas operaciones y relaciones.

Cualquier conjunto de conjuntos cerrados bajo las operaciones de la teoría de conjuntos forma un álgebra booleana con el operador de unión siendo unión , el operador de encuentro siendo intersección , el operador de complemento siendo conjunto complemento , siendo el inferior y el superior el conjunto de universos bajo consideración. ${\displaystyle \varnothing }$

Fundamentos

El álgebra de conjuntos es el análogo teórico de conjuntos del álgebra de números. Así como la suma y la multiplicación aritméticas son asociativas y conmutativas , también lo son la unión y la intersección de conjuntos; Así como la relación aritmética "menor o igual" es reflexiva , antisimétrica y transitiva , también lo es la relación de conjunto de "subconjunto".

Es el álgebra de las operaciones de unión, intersección y complementación de la teoría de conjuntos, y las relaciones de igualdad e inclusión. Para obtener una introducción básica a los conjuntos, consulte el artículo sobre conjuntos , para una explicación más completa, consulte la teoría ingenua de conjuntos y, para un tratamiento axiomático completo y riguroso, consulte la teoría de conjuntos axiomática .

Propiedades fundamentales del álgebra de conjuntos

Las operaciones binarias de unión de conjuntos ( ) e intersección ( ) satisfacen muchas identidades . Varias de estas identidades o "leyes" tienen nombres bien establecidos. ^[2] ${\displaystyle \cup }$ ${\displaystyle \cap }$

Propiedad conmutativa :

• ${\displaystyle A\cup B=B\cup A}$
• ${\displaystyle A\cap B=B\cap A}$

Propiedad asociativa :

• ${\displaystyle (A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)}$
• ${\displaystyle (A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)}$

Propiedad distributiva :

• ${\displaystyle A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)}$
• ${\displaystyle A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)}$

La unión e intersección de conjuntos puede considerarse análoga a la suma y multiplicación de números. Al igual que la suma y la multiplicación, las operaciones de unión e intersección son conmutativas y asociativas, y la intersección se distribuye sobre la unión. Sin embargo, a diferencia de la suma y la multiplicación, la unión también se distribuye en la intersección.

Dos pares adicionales de propiedades involucran conjuntos especiales llamados conjunto vacío y conjunto universal ; junto con el operador de complemento ( denota el complemento de . Esto también se puede escribir como , leído como "Un primo"). El conjunto vacío no tiene miembros y el conjunto universal tiene todos los miembros posibles (en un contexto particular). ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}}$ ${\displaystyle A^{\complement }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A'}$

Identidad:

• ${\displaystyle A\cup \varnothing =A}$
• ${\displaystyle A\cap {\boldsymbol {U}}=A}$

Complementar:

• ${\displaystyle A\cup A^{\complement }={\boldsymbol {U}}}$
• ${\displaystyle A\cap A^{\complement }=\varnothing }$

Las expresiones de identidad (junto con las expresiones conmutativas) dicen eso, al igual que 0 y 1 para la suma y la multiplicación, y son los elementos de identidad para la unión y la intersección, respectivamente. ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}}$

A diferencia de la suma y la multiplicación, la unión y la intersección no tienen elementos inversos . Sin embargo, las leyes del complemento dan las propiedades fundamentales de la operación unaria algo inversa de complementación de conjuntos.

Los cinco pares de fórmulas anteriores (las fórmulas conmutativa, asociativa, distributiva, de identidad y de complemento) abarcan todo el álgebra de conjuntos, en el sentido de que toda proposición válida en el álgebra de conjuntos puede derivarse de ellas.

Tenga en cuenta que si las fórmulas del complemento se debilitan a la regla , entonces esto es exactamente el álgebra de la lógica lineal proposicional ^{[ se necesita aclaración ]} . ${\displaystyle (A^{\complement })^{\complement }=A}$

Principio de dualidad

Cada una de las identidades indicadas anteriormente es parte de un par de identidades de modo que cada una puede transformarse en la otra intercambiando y , al mismo tiempo que intercambiando y . ${\displaystyle \cup }$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}}$

Estos son ejemplos de una propiedad extremadamente importante y poderosa del álgebra de conjuntos, a saber, el principio de dualidad para conjuntos, que afirma que para cualquier enunciado verdadero sobre conjuntos, el enunciado dual obtenido intercambiando uniones e intersecciones, intercambiando e invirtiendo inclusiones también es verdadero. Se dice que un enunciado es autodual si es igual a su propio dual. ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}}$ ${\displaystyle \varnothing }$

Algunas leyes adicionales para uniones e intersecciones

La siguiente proposición establece seis leyes más importantes del álgebra de conjuntos, que involucran uniones e intersecciones.

PROPUESTA 3 : Para cualquier subconjunto y de un conjunto de universos , se mantienen las siguientes identidades: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}}$

leyes idempotentes :

• ${\displaystyle A\cup A=A}$
• ${\displaystyle A\cap A=A}$

leyes de dominación:

• ${\displaystyle A\cup {\boldsymbol {U}}={\boldsymbol {U}}}$
• ${\displaystyle A\cap \varnothing =\varnothing }$

leyes de absorción :

• ${\displaystyle A\cup (A\cap B)=A}$
• ${\displaystyle A\cap (A\cup B)=A}$

Como se señaló anteriormente, cada una de las leyes establecidas en la proposición 3 puede derivarse de los cinco pares fundamentales de leyes establecidas anteriormente. A modo de ilustración, a continuación se ofrece una prueba de la ley idempotente de unión.

Prueba:

La siguiente prueba ilustra que el dual de la prueba anterior es la prueba del dual de la ley idempotente para la unión, es decir, la ley idempotente para la intersección.

Prueba:

La intersección se puede expresar en términos de diferencia de conjuntos:

${\displaystyle A\cap B=A\setminus (A\setminus B)}$

Algunas leyes adicionales para complementos

La siguiente proposición establece cinco leyes más importantes del álgebra de conjuntos, que involucran complementos.

PROPUESTA 4 : Sean y subconjuntos de un universo , entonces: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}}$

Leyes de De Morgan :

• ${\displaystyle (A\cup B)^{\complement }=A^{\complement }\cap B^{\complement }}$
• ${\displaystyle (A\cap B)^{\complement }=A^{\complement }\cup B^{\complement }}$

doble complemento o ley de involución :

• ${\displaystyle (A^{\complement })^{\complement }=A}$

Leyes del complemento para el conjunto de universos y el conjunto vacío:

• ${\displaystyle \varnothing ^{\complement }={\boldsymbol {U}}}$
• ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}^{\complement }=\varnothing }$

Observe que la ley del doble complemento es autodual.

La siguiente proposición, que también es autodual, dice que el complemento de un conjunto es el único conjunto que satisface las leyes del complemento. En otras palabras, la complementación se caracteriza por las leyes del complemento.

PROPUESTA 5 : Sean y subconjuntos de un universo , entonces: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}}$

unicidad de los complementos:

• Si y , entonces ${\displaystyle A\cup B={\boldsymbol {U}}}$ ${\displaystyle A\cap B=\varnothing }$ ${\displaystyle B=A^{\complement }}$

Álgebra de inclusión

La siguiente proposición dice que la inclusión , es decir la relación binaria de un conjunto siendo subconjunto de otro, es un orden parcial .

PROPUESTA 6 : Si , y son conjuntos, entonces se cumple lo siguiente: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$

reflexividad :

• ${\displaystyle A\subseteq A}$

antisimetría :

• ${\displaystyle A\subseteq B}$y si y solo si ${\displaystyle B\subseteq A}$ ${\displaystyle A=B}$

transitividad :

• Si y , entonces ${\displaystyle A\subseteq B}$ ${\displaystyle B\subseteq C}$ ${\displaystyle A\subseteq C}$

La siguiente proposición dice que para cualquier conjunto S , el conjunto potencia de S , ordenado por inclusión, es una red acotada y, por lo tanto, junto con las leyes distributiva y del complemento anteriores, demuestran que es un álgebra de Boole .

PROPUESTA 7 : Si , y son subconjuntos de un conjunto, entonces se cumple lo siguiente: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle S}$

existencia de un elemento mínimo y un elemento mayor :

• ${\displaystyle \varnothing \subseteq A\subseteq S}$

existencia de uniones :

• ${\displaystyle A\subseteq A\cup B}$
• Si y , entonces ${\displaystyle A\subseteq C}$ ${\displaystyle B\subseteq C}$ ${\displaystyle A\cup B\subseteq C}$

existencia de reuniones :

• ${\displaystyle A\cap B\subseteq A}$
• Si y , entonces ${\displaystyle C\subseteq A}$ ${\displaystyle C\subseteq B}$ ${\displaystyle C\subseteq A\cap B}$

La siguiente proposición dice que el enunciado es equivalente a varios otros enunciados que involucran uniones, intersecciones y complementos. ${\displaystyle A\subseteq B}$

PROPUESTA 8 : Para dos conjuntos cualesquiera y , son equivalentes los siguientes: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

• ${\displaystyle A\subseteq B}$
• ${\displaystyle A\cap B=A}$
• ${\displaystyle A\cup B=B}$
• ${\displaystyle A\setminus B=\varnothing }$
• ${\displaystyle B^{\complement }\subseteq A^{\complement }}$

La proposición anterior muestra que la relación de inclusión de conjuntos puede caracterizarse por cualquiera de las operaciones de unión de conjuntos o de intersección de conjuntos, lo que significa que la noción de inclusión de conjuntos es axiomáticamente superflua.

Álgebra de complementos relativos

La siguiente proposición enumera varias identidades relativas a complementos relativos y diferencias de teoría de conjuntos.

PROPUESTA 9 : Para cualquier universo y subconjuntos , y de , se mantienen las siguientes identidades: ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}}$

• ${\displaystyle C\setminus (A\cap B)=(C\setminus A)\cup (C\setminus B)}$
• ${\displaystyle C\setminus (A\cup B)=(C\setminus A)\cap (C\setminus B)}$
• ${\displaystyle C\setminus (B\setminus A)=(A\cap C)\cup (C\setminus B)}$
• ${\displaystyle (B\setminus A)\cap C=(B\cap C)\setminus (A\cap C)=(B\cap C)\setminus A=B\cap (C\setminus A)}$
• ${\displaystyle (B\setminus A)\cup C=(B\cup C)\setminus (A\setminus C)}$
• ${\displaystyle (B\setminus A)\setminus C=B\setminus (A\cup C)}$
• ${\displaystyle A\setminus A=\varnothing }$
• ${\displaystyle \varnothing \setminus A=\varnothing }$
• ${\displaystyle A\setminus \varnothing =A}$
• ${\displaystyle B\setminus A=A^{\complement }\cap B}$
• ${\displaystyle (B\setminus A)^{\complement }=A\cup B^{\complement }}$
• ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}\setminus A=A^{\complement }}$
• ${\displaystyle A\setminus {\boldsymbol {U}}=\varnothing }$

Ver también

• σ-álgebra es un álgebra de conjuntos, completada para incluir operaciones contablemente infinitas.
• Teoría de conjuntos axiomáticos
• Imagen (matemáticas) § Propiedades
• campo de conjuntos
• Lista de identidades y relaciones establecidas
• Teoría de conjuntos ingenua
• Conjunto (matemáticas)
• Espacio topológico : un subconjunto de , el conjunto potencia de , cerrado con respecto a unión arbitraria, intersección finita y que contiene y . ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle X}$

Referencias

1. Paul R. Halmos (1968). Teoría de conjuntos ingenua . Princeton: Nostrand.Aquí: Sección 4
2. Muchos matemáticos ^[1] asumen que todas las operaciones con conjuntos tienen la misma prioridad y hacen pleno uso de los paréntesis. Este artículo también.

• Stoll, Robert R.; Teoría y lógica de conjuntos , Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover (1979) ISBN 0-486-63829-4 . "El álgebra de conjuntos", págs. 16-23. 
• Courant, Richard, Herbert Robbins, Ian Stewart, ¿Qué son las matemáticas?: Un enfoque elemental de ideas y métodos , Oxford University Press EE. UU., 1996. ISBN 978-0-19-510519-3 . "SUPLEMENTO DEL CAPÍTULO II EL ÁLGEBRA DE CONJUNTOS". 

enlaces externos

• Operaciones en conjuntos en ProvenMath